微积分第2版第2章极限与连续习题祥解.docx

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1、微积分第2版第2章极限与连续习题祥解习题2.1(A)1.观察下列数列怎,(5)=(-1n;当Z1foO时，极限是否存在，如存在，请写出其极限值.解当8时，极限为|;极限为0；极限不存在;极限为1；极限不存在;极限不存在.(2)当一OO时,(3)当一8时,(4)当一8时,(5)当一8时,(6)当一8时,2.对于数列5=1,2,)，给定(1)=0.1,(2)=0.01,n+1(3)=0.001时，分别取怎样的N,才能使当N时，不等式|乙一1|成立？并利用极限的定义证明此数列的极限为1.解要使卜“一II=1=!=10,9,故取1m1+1n+0.1N=9即可.(2)要使风一1|=1=-=10099,故

2、117?+177+10.01N=99即可.(3)要使Ixn-11=1=-=1000，n999I1n+10.001故取N=999即可.对于任意给定的0,要使比一1|=1=-即+11,n-1.n+1取正整数N=-1,则当N时，恒有1=/一IV,故1im一J+1f1o0n+1习题2.1(B)1 .用数列极限的定义证明下列极限：(1) Iim14-=O；(2)Iim=1on+1-R3+13证明（1）对于任意给定的0,要使不等式2成立，只需一成立.取N=2,则当N时，恒有所以IimI+(T)=0./1Too（2）对于任意给定的0,要使不等式成立，只需-成立.取N=-!-,则当N时，恒有n10,要使不等式

3、口（所向一成立，只需成立.取N=-4+1,则当N时，恒有_(h+T-V)-00,对所有的乙都有同M,对于任意给定的0,要使不等式氏”一OHXMVAJe成立，只需0,存在N,则当NM28M时，恒有ynk时，恒有氏小呜所以IimxhyZ1=0.-KO4 .对于数列xm),若x2a-1a(k),x2ka(k),证明：xm(?).证明因为X2J-4(%-8),所以V(),肪0,当%勺时，有-4Vg；又因为。(200)，所以对上述0，320当攵%2时，有|积一。|N时，若n=2k-1,则左K+gZ,得氏一4=员1一K22,得上一汗=卜2%一&N,就有x40,要使不等式(x)-=(2x-1)-1=2x-1

4、成立，只需x-1成立.取K=,则当0上一1卜5时，恒有(2x-1)-10,要使不等式-=-(-|一露+2)4=x2人I/II4I乙成立，只需取b=即可.则当OVk+2|时，恒有x?4-(-4)0,要使不等式(x)-A=-2=tM时，恒有2x+3C20,要使不等式I”、.sinx八1W-A1=1_0F成立.取M=F,则当xM时，恒有U习题2.2(B)1.当x2时，/(x)=x24,问3等于多少，使当卜一2|5(x)-42,x-20,不妨设卜一2|匕即1x3要使卜2-4=(+2)(X-2)5x-20.001,只要x.21=0.0002,取5=0.0002,则当0上一2|6时，就有(x)-4v0.0

5、01.Iimf(x)=1im(x+1)=1,xO4xO4Iimf(x)Iimf(x).x0-x0*所以Iim/(x)不存在.(2)由于Iimf(x)=IimSinX=O,Iim/(x)=Iimx=0.x0x0x04x*故Iimf(x)=Iim/(x).所以Iimf(X)=0.x0x0*x0nF蛤I,、3+11+4.设函数/(X)=3，求：5-3xA2小.、1.X+X1.4xC解hm/(x)=I1m1i-1T=Iim=2.XfmXTx5x-3x2(5) 函数/(幻=,问当。取何值时，函数/(x)在Xf2时的极限存2x-aX8时，一为无穷小.所以X,.sinx.Iim=0.XTg(2)当x2时，x

6、+1有界，f-5%+6为无穷小.所以1im=.22-5x+6z1.x-4(x+2)(x-2)(3) Iim=Iim=1m(x+2)=4.x2-2-t2-212习题23(B)1 .举例说明，两个无穷小的商不一定是无穷小；无穷小与无穷大的积不一定是无穷小.2_i解(D如1im(x-1)=O,Iim(X2-I)=O,但Iim=Iimer+1)=2.不是无穷小.r1.vIx1-XT1例如Iim(X-I)=0,Iim=,XT1x1厂1但是Iim(X-I)I=Iim:I=Iim!=不是无穷小.XT1x-1Ix-1XfX+122.函数y=XCOSX在(-8,+8)内是否有界？这个函数是否为X+8时的无穷大？

7、解因为VM0,总有Xoe(M,+),使得COSXO=1,从而y=/cosx=0M,所以，函数y=XCOSX在(一8,+8)内无界.又存在No,VX0,总有(XF8),cosx0=O,从而y=x0Cosx0=OVN0,所以，函数y=Xcosx不是当xf+oo时的无穷大.1+2X3.根据定义证明：函数)，=一为当KfO时的无穷大.问X应当满足什么条件，能X使仅|IO4?国o,取b=一，当o-om,即函11M+2M+211IX1+2X数y二上为当x()时的无穷大.X令M=IO4,取6=!一，当Oek一ok)4IO4+211IO4+2X习题2.4(A)1 .简要回答下列问题.(1)若数列%收敛，而数列

8、%发散，则数列氏土及数列七为是否收敛？若数列后,yt均发散，则数列iyj及数列当然是否发散？解数列%y,发散.如果怎然收敛，那么X1=X一区一券）或州=（十%）一天也收敛数列k不一定收敛例如：数列X”=1收敛，”=（T）发散，怎券=（_1）”_1收敛；又数列Z=1收敛，稣=2发散，/尤二发散.n2 2）工然及数列xy“不一定发散.3 .求下列函数的极限.(5)1.4x3-2xXIim；：v03x+2xQ)(4)x2-3x2Iim.XTIX-4x+3Iim.t+(J2+X-);(6)Iimx(2x-3)2(3x+2)3(2x+1)5IimF+2“XTgX-x+1(8)IimftO(x+)2-X2(1)Iim.t04x3-2x2+X3x2+2x=1im422x+Mro3x+22XTIX2-4+3I(X-I)(X-3)Xf(X-3)2HmJ2x+131n(J2x+13)(J2x+1+3)(Jx-2+,2)IJX-2-0-XTI-+1(x-2-2)(x-22)(2x13)2(x-2+)22yJ2,x+1+3=Hm吐/笆巫=Hm(-4)(2x+1+3)I(4)IimUX2+x-x)=Iim0oX+0,X=Iim-=J=-yX2+X+X51+1+12IimXTIu-XI-X(6)Iimxoc(2x-3)20(3