埃舍尔的变形长卷：绘画就是欺骗.docx

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1、埃舍尔的变形长卷：绘画就是欺骗如果说伊斯兰工匠和特鲁谢神父的密铺作品好似几何图案的神圣殿堂，充满了规律和秩序，那么埃舍尔的密铺作品则飞禽走兽、花鸟鱼虫无所不包，充满了想象和形变。埃舍尔的许多版画作品都以某种方式改变平面规则分割为特征。最典型的例子是他的3幅变形，其中以变形2最为有名。变形2是一幅狭长的版画，长达3.9米。画卷从METAMORPHOSE开始，经过一系列变化，最终又变回了METAMORPHOSE。整个奇妙的变形过程由一系列精巧的平面密铺图案构成，包括正多边形、蜥蜴、花鸟鱼虫、房屋等，各个图案拼块之间通过各种巧妙的过渡浑然一体,展现出埃舍尔非凡的创造力和想象力。整张画从头看到尾，就像

2、看了一个故事。作为数学爰好者而非艺术家，我们更倾向于用简单的线条艺术来呈现抽象的几何图形代替埃舍尔的花鸟鱼虫、飞禽走兽。我们从最简单的正方形开始，目标是通过平滑的几何过渡,将正方形演化为更复杂的形状，从而生成有趣的拼花变形。最简单方法是基于网格，通过连续增加小单位的方形凹陷，使正方形拼块的直线边缘演变为曲折的路径。这种方法是相对比较容易的，也适合用计算机实现。如图2.6.1,是基于网格的演化路径的发展演示。一条直线上生长出两个凸起，然后下面的凸起变长，向上拐弯，经过6个步骤，最终演化出挂衣钩的形状。II_,I_,I_1I_1I_Ir图2.6.1从直线演化出挂衣钩，实现密铺变形在实践中，这种方法

3、可以提供更大的灵活性和表现力。对我来说，最吸引人的结果是通过不断修改原拼块的边界，最后演化出的拼块完全看不出正方形的样子。如图2.6.2,白方块上下凸出，左右凹陷，黑方块正好相反。经过若干次演化之后，白方块中形成了黑色5S图案，黑方块中形成了躺倒的白色5S图案。rjf1uJIraJjjieJ3qU1EIc1C*J1也1也IEIc11iT1图2.6.2通过方形网格构建的拼花变形还有一种流行的、有吸引力的曲线演化的技术是使用迭代函数系统(IFS)z它可以将曲线的细节逐渐增加，产生分形图案。(关于分形的概念，请见本书第六章。)在当前情况下，迭代函数系统是一条从正方形一个顶点到相邻顶点的线性路径。通过

4、反复用整个路径的适当转换副本替换其每一段，该路径可以被细化到任意数量的代际。图2.6.3是一个简单的迭代函数系统，展示的是用八条等长的线段组成的路径替换一条线段的规则，图2.6.3a是最初的直线，bed分别是迭代12、3次后的路径。图2.63abed一个简单的迭代函数系统图2.6.4显示了通过给正方形的所有边实施迭代函数系统而产生的拼花变形的例子。分形和密铺两个不相干的领域此时毫无违和感地完美融合。图2.6.4利用迭代函数系统构建的拼花变形此外，我们可以实施变形的不止正方形的轮廓，正方形内部也可以自由绘制图案线并实施变形。如图2.6.5,左侧一开始是正方形中画着形如纳粹标志一样的生字图案，然后

5、，正方形的四条边逐渐弯折成锯齿状,相反，中央的锯齿线逐渐平缓，变成直线。到了画卷的中间，单元图案就变成了四叶回旋镖里面画着十字线的图案。接下来，四条边框逐渐平缓，恢复成正方形；而中央的十字线则开始弯折，注意，此时弯折的方向与画卷左侧相反，最终形成了佛教万字符一样的图案。当这些极其简单、独立的图案叠加在一起时，出现的是一场意想不到的视错觉盛宴。在最左边和最右边，一目了然的是逆时针和顺时针旋转的万字符。在中间，你会看到画着十字线的四叶回旋镖图案。然而此时,一种奇怪的错觉出现了，如果你把目光斜半个单元看，就会发现画卷中央也出现了万字符。当然，观察左右两侧，也会发现很多画着十字线的四叶回旋镖。这幅画中

6、还有很多有趣之处。例如，整幅画作乍看是左右对称的，因为左侧的万字符都是逆时针旋转，右侧的万字符都是顺时针旋转，貌似很对称。但实际上，中间所有的万字符都是顺时针旋转，这显然违反了对称性。此外，在画卷四分之一和四分之三处的位置，图案本应当彼此互为镜像对称关系，但实际二者却毫无相似之处。一个非常简单的设计，效果却几乎几乎欺骗了所有人的眼睛。图2.6.5图2.6.6也是从正方形演化成四叶回旋镖的例子，本身无甚惊奇之处，但进行简单的涂色之后却意外地出现了视错觉。你会发现线条出现了拱形的弯曲，但显然，线条并不存在弯曲，弯曲的是你的眼睛。到S1旗殆罚图2.6.6上述几例都是比较简单的拼花变形，因为无论拼块最

7、后演变到多复杂,都是基于最初的正方形，而且密铺顶点（4个相邻拼块的交点）也是相等配置的密铺顶点。而更普遍也更棘手的情况是，拼块演变成完全不同的形状，密铺顶点也完全不一样的配置。解决这个问题的诀窍在于构思适当的变形，让二者自然过渡。典型的变形方式有：延长或缩短一条线；旋转一条线；在线段某处添加钱链，使之弯折，等等。如图267,前半段展示了把正方形演化成正三角形的过程，只见正方形的一条边逐渐缩短,变成等腰梯形的形状,直到这条边缩短成一个点,正三角形就诞生了。接下来应用旋转变形，把相邻的两个正三角形视为菱形，那么两个正三角形重叠的边自然形成菱形较短的对角线。旋转这条对角线，直到它转到菱形长对角线的位

8、置，变形宣告结束。此时，你会发现相邻的三个菱形组成的六边形居然出现了立方体的立体感。整幅画作给人一种从二维走向三维的感觉。图2.6.8仍然从正方形开始，首先，正方形上下移动，增加了密铺顶点。把增加的密铺顶点视为钱链，弯折形成六边形。逐渐增大弯折的角度，形如蜂巢的正六边形密铺就此诞生。然后，保持正六边形其中一个角不变，对角逐渐收缩变成平角，相邻的两个角向外扩张变成直角。此时我们注意到，正六边形变成了有点压扁的五边形。这样的三个五边形结合在一起形成了一个更大的六边形。奇怪的是,如果我们从右往左看,五边形变成六边形之后就很难找出它们哪三个原先属于一组，它们随机结合，一会儿聚集，一会儿分散。再往左看，正六边形变成正方形之后，已经完全没有三个一组的感觉。图268埃舍尔大师说：绘画就是欺骗。由此观之，大师诚不欺我。玩弄简单的几何图形就可以欺骗你的眼睛，让你出现各种不可能的幻觉，然而这些幻觉却顺理成章、不容置疑。正是这种欺骗造就了艺术，造就了完美。