北师大六上圆的面积教学设计与意图.docx

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1、北师大六上圆的面积教学设计与意图教学目标：1 .引导学生探索并理解圆面积的计算公式，能正确应用公式计算圆的面积，并能应用公式解决相关的简单实际问题。2 .使学生经历观察比较、实验操作、分析反思、讨论归纳等数学活动过程，培养运用已有知识解决新问题的能力，积累基本活动经验。进一步体会转化、极限等思想方法的价值，渗透化曲为直、化圆为方的辩证唯物主义观点，发展推理意识、几何直观、空间观念。3 .通过生活实例、数学史料，感受数学之美，了解数学文化，培养学生认真观察、深入思考的良好思维品质,增强合作交流的意识，提高学习兴趣。教学重点：结合史料，依循人类探索圆面积的发展过程，以学生已有的经验和起点为依托探寻

2、圆的面积的计算公式。教学难点：在步步探索中追求精确化，在层层深入中体会“转化极限思想。教学过程：一、引入：唤醒经验，明确方向。1 .同学们在方格图上用圆规画了一个圆，谁能用学过的知识介绍一下你画的这个圆。2 .老师画的圆与你们画的圆，大小一样吗？在这里我们所说的圆的大小，其实指的就是圆的一一面积。3 .（板书课题）今天我们就来研究如何计算圆的面积。根据圆的认识经验，你知道圆的面积大小，是由什么决定的？（半径、直径）那面积和半径之间，到底有什么关系呢？设计意图通过在方格纸上画圆以及对圆的自主介绍,激活学生已有的知识经验,提出问题,引发思考,并自然地将圆的面积与半径、直径,甚至周长建立联系,为后续

3、教学新知、问题理解做好准备,也开启了对圆的面积的探索之旅。二、估测：以方测圆，确定范围。1 .这个问题在古希腊时期曾经是三大几何难题之一，古代希腊人、埃及人、印度人都进行了思考,看看古埃及人怎么研究的？（如下图）2 .古埃及人的思路是，研究圆的面积与正方形面积间的倍数关系，我们的经验是圆的面积由半径决定。能不能把我们的经验和古埃及人的思路结合起来，猜测一下，什么样的正方形，面积可能和这个圆有着倍数联系？（以圆的半径为边长的正方形）3 .大家的感觉很敏锐，这是个很特殊的正方形，很显然，它的面积就是一一r2,那么我们今天的研究目标就是：圆的面积是小正方形面积产的几倍？（1）咱们先来估一估，与产相比

4、，圆的面积可能是在个什么样的范围内？拿出学习单，观察材料1这幅图，想一想、估一估，组内交流。研究目标：圆面积与正方形面积r2的倍数关系？范围：圆的面积一定在C的（）倍（）倍之间（2）谁来说说，比产的几倍大，你是怎么想的？比产的几倍小呢？（如下图）老师把你们的估测记录下来，圆的面积：产的2倍4倍间。设计意图：通过史料介绍古埃及人对于圆面积的初步探究,将圆面积与正方形的面积建立关联引导学生利用方格图中与圆的半径和直径关系最密切的2个正方形（以半径为边长和以直径为边长的）,估计出圆面积的大致范围:2/圆的面积4产。三、计算：实验测量，求精入微。1 .同学们对圆面积的大小，确定了一个合理的范围。当然仅

5、有范围还不够，得想办法把它们确切的的倍数关系弄清楚，这就需要知道面积的具体数据。老师给大家提供了方格图，你有办法得出圆的面积吗？2 .好，我们就用数方格的方法，把圆的面积和正方形面积产数出来，来研究圆的面积到底是产的几倍。先把正方形的面积数出来是多少？数圆的面积有什么好的建议吗？算一下，圆的面积大约是这个正方形的多少倍呢？（形成下图表格）3 .老师这里只有一个圆，为了使我们的实验数据更有说服力，请大家拿出自己画的圆，也像这样数出圆的面积和正方形面积产分别是多少，算算它们之间的倍数？4 .请同学们仔细观察表格中的倍数，你有什么发现？（圆的面积是产的3倍多一些）5确实在刚才估测的范围之内。不过，大

6、家的答案各不相同，说明数方格的过程中存在着一一误差。要想数据精确、减少误差，这个方格图可以怎么改进？（方格越小越精确）如果我们把小方格变得像埃及人洒在上面的谷粒那么多，数据一定会精确很多，来看看呢。（如下图）6.精确到一定程度会得到，圆的面积大约是产的3.14倍,看到3.14,大家就想到了神秘的数据？（Ti倍）我们用数方格的方法，通过大量的数据后发现，圆的面积可能是半径平方的TI倍。设计意图：利用学生研究不规则图形面积的数方格”经验,将自己所画圆的面积数出来,并将与产的倍数关系算出来。通过不同的数据对比,进一步确定:圆的面积大约是正方形面积（r2）的3倍多一些。并结合史料介绍,用均匀分布的小格

7、子代替埃及人的谷粒,当小格子足够多时（PPT呈现1600个）,数方格得到的圆的面积大约就是正方形的3.14倍。这个环节将学生已有学习经验数方格的方法,与史料中的古埃及人探索方法相结合,通过数、算的过程将圆的面积与半径平方之间的倍数关系进一步精确化。特别是引发学生思考并想象,当用来做单位面积的方格变得越来越小,直至无穷小的时候,就可以准确地测量出圆的面积了,借助课件帮助学生经历一个直觉的极限过程,初步理解极限”。四、推理：化曲为直，科学论证。1 .数据确实可以说明问题，提供猜想。不过大家都知道，我们以前的图形面积计算公式，都是推导出来的，那是最严密最有说服力的。想想，以前我们要研究一个新图形的面

8、积时，都做了些什么？（把新图形用剪拼的方式转化成学过的图形，化未知为已知，利用新旧两个图形间的关系进行推导）2 .那今天我们学习的圆，它能转化成我们学过的图形来研究吗？大家提出了一些方法，看看古印度数学家的思路（播放视频），是不是跟我们刚才有同学思路相同？研究目标：圆面积与正方形面积r2的倍数关系？古印度数学家，像切西瓜一样把圆切成许多“小瓣”，再把这些“小瓣”平均分成两部分，各自展开后，拼插成一个近似的平行四边形,用这个近似平行四边舫的面积去代替胤的面积。3 .我们下面来试一试这种方法，老师给各组同学准备了不同的学具，请你们沿着圆的半径剪开，看能不能拼成一个平行四边形?(1)这是把圆平均切成

9、4份、8份、16份，大家剪拼出来的图,有什么发现？如果切的份数更多，32份、64份、128份、甚至IOOo份，你想会是什么样的？(PPT演示)(2)看了这个分的过程，你们有什么想说的？可以想像一下。(如下图)4 .这样我们就把圆转化成了长方形，这个圆与转化后的长方形存在哪些关系呢，能不能根据这些关系推导出圆的面积计算公式。(1)打开学习单反面，根据活动材料，试着推导一下。(2)交流学习单，动态形成下图。面积周长的一半（nr）半径r面积=rr：面积=长X宽:长方形=JIXr25 .这样我们就通过严密的推导，得出圆的面积计算公式是S=nr2,也就是说，圆面积确实是它半径平方的一一（TI倍），推理的

10、结果证明了刚才实验数据的结果的正确性。设计意图：“化曲为直，环节是全课的中心环节,通过丰富的活动,一方面使学生体会:圆面积与半径平方的倍数关系,用前面数方格实验的方法得出后,更要以推理（推导）的方式加以印证,亦即:数学结论的得出过程应该是从猜想、到实验验证、再到推理证明的科学过程,将合情推理与演绎推理相结合,培养学生的严谨的科学态度和理性精神。另一方面,则是将学生的“转化经验迁移到新知中来,结合史料中古人的探索,在亲自动手操作进一步积累经验的基础上,通过想象活动深刻感受极限的思想。整个过程中，努力将学生的已有经验与人类的探索过程无缝对接,真正地经历再创造、再认识”过程。五、反思：梳理回顾，拓展

11、提升。1 .刚刚我们数方格得出这个圆的面积大约是30,现在你能根据圆的面积计算公式准确算出它的面积了吗？动笔算一算。(交流比较:根据公式计算出的数据比较精确，数方格得出的数据有误差)S=r24根据圆的面积计算公式，算出圆的面积。32X3.14=9X3.14=28.26(Cin2)年格：3个一关：(6)I.5)X4302 .大家可以把自己画的圆面积算一算，再与之前数方格得到的面积比一比，看看误差大不大。1精测：青七方mM桁臭估计：户的24倍之同aft*般方格：H的3但多一些推导：r?的JI倍)：一长方彩3 .(PPT动态呈现如下图)回顾一下今天的研究过程，看看我们是怎么得出圆的面积计算公式的？研

12、究过程中，我们借鉴了古人的智慧,更是运用了自己以前学习平面图形面积的经验。4 .最后，大家还有什么疑问吗？（圆被平均分成若干份之后，那些小扇形还能拼成其他的平面图形进行推导吗？）课后大家不妨去剪一剪、拼一拼、推一推，相信你一定会有更大的收获！设计意图：得出圆的面积计算公式后,让学生准确计算出开始的时候自己所画的圆的面积,并与之前数方格得到的面积数据进行对比,体会精确性及数学的应用性。引导学生回顾整节课的研究过程,让学生体会到自己在课堂上经历了人类千年的探索,感受数学文化的同时,体验数学探索的逐步精确化过程,渗透科学理性精神。最后引发学生对圆面积公式推导其他方法的更深入思考,为今后的学习研究奠定扎实的基础。