关于零极点分析的基本问题.docx

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1、关于零极点分析的基本问题https:ZhUr)471562491前言最近在看一篇论文，里面有零极点分析的内容，所以自己就回顾了一下这方面的基础知识，结果发现知乎上一些错误的答案竟然都有不少点赞量，误导后进者。所以在这里写一篇简短的，旨在理清零极点基本原理的文章。多说一句，如果做射频电路设计，因为频率高，寄生效应明显，如果像模拟电路里那样，根据等效电路来推出传输函数(transferfunction)H(s),从而分析零极点，那H(S)公式太长了，分析就太复杂了。所以一般不会这么做，零极点考虑的电路稳定性，在射频微波电路设计里，我们就交给稳定因子K1和辅助因子0来判断就好了。零极点的数学形式首先

2、我们要知道，零极点分析是“舶来品”，这种分析方法的起源并不是直接来自电路设计领域，有可能是自动控制学科。所以对其数学方式要注意灵活运用，不要硬套公式，造成无法理解的情况。一般传输函数H(S)就是下面的有理分式的结构，然后我们对其分子分母的相加形式做多项式分解，就可以得到喜闻乐见的相乘形式HsrN(S)/+。吁2/一2a15a0D(S)Sn.sibn2sn1+*+瓦=K(STMST2)(S-I)(S-P)(5_凸:&_%)这里大家就会条件反应似的认为，“零点就是使传输函数分子为零的根，极点就是使传输函数分母为零的根”，如果死记硬背这条规则，后面到电路领域的理解就会非常不顺畅。不错，在数学上，或者

3、说其他领域，这个规则是对的。比如对于下面这个传输函数1这个传输函数没有零点，因为s2+6s+25=0,所以有两个成共辄的极点S1=3+4j和S2=-34joPo1eZeroMapX-X-3.5-3.0-2.5-20-1.5TO)J5-0.0JQ5Re进入电路领域，比如下面简单的RC低通电路，有一个极点，这也是零极点分析的简单应用，一般都以单实(一个实数)极点开始。1HG)=-CVr+csV(in)OWVJOV(OUt)Jc这里的H(s)=一，如果你硬套上面的有理分式的规则，那这里的极点就是S=sRC+1-,S是频率的拉普拉斯形式，实际就是j3,这里的频率(实为角频率，有个2n的关系)就是负数。

4、这当然不对，这里有两点需要注意：工程与数学形式第一注意点第一,虽然有关系S=j)和S=但j0-W，而是3=一看,是不是很奇怪？其实也没有什么奇怪的，只是数学到工程上一个转变而已。那这里哪个是工程上的转变呢？s=j已经是电路的相量表示了，在零极点分析里从始至终都不会改变。而s=-工是有理分式的数学结果，这个才是需要转变的，需要对应到电RC路上去的关系。事实上，S的数学结果可能是实数P,(在这里P=-W),也可能是更复杂的复数+j,跟上面举的有两个共辄数值结果的例子一样。注意，平时我们说的零极点在复平面(compIexpIane)上的位置，也就是uroot1ocus(翻译是根轨迹图)，有不少定性的

5、结论，如在左半平面(Ieftha1fp1ane:1HP)是阻尼振荡，稳定，在右半平面(righthaIfp1ane:RHP)是不稳定，在虚轴上是等幅振荡等等，如下图所示2。这里的root点就是S的值，取数学上结果就可以了。言归正传，那对应到电路上去是如何对应呢？(C)Figure10.4Time-domainresponseofasystemversusIhepositionofpo1es:(a口Zuib：w!hg.x”巾Wamp1itude;(b)unstab1ewithconstant-amp1itudeosci1!a(ion:(c)stab1e.像这里S等于实数(S=P)的情况，那S=j

6、3中的3就等于实数(3邛)，如果s=+jB,3的值就会更复杂。如下图中的63,这篇文章只讲一些基础，二阶系统就不展开讲解了。VThenthestab1enenvokinc1udesacomp1ex-conjugatepo1epair,wecanrepresentthepo1e1ocationsass-ajwhereaandarebothpositiverea1numbers.Thetransferfinctionwi11thenhaveafactorofthefnnH(s)=7z-=-T55=z亍(1.4)s-(-a+j)s-(-a-j)s2+2as+cr+炉($+a)2+1andthusa1

7、1thecoefficientsinthedeuoniinatorarepositive,eventhoughtherootsinfacthavenegativerea1parts.Forreasonswhichwi11becomec1ear1ateritismoreconvenienttowritethesecond-orderpo1ynomia1inthestandardfbnns2+26)ns+(1.5)wherenisca11edthecornerfrequencyorbreakpoint,and；isca11edthedampingfactor.Comparing(1.4)and(1

8、.5)wecanre1atethecomerfiequencyanddampingfactortothepo1esusingn=Jcr2+1=aIn-a/Ja2+，二(1)但归根结底，这样的对应关系存在，不是人为规定的，而是传输函数H（X）的性质决定的。为什么H（X）的幅度和相位与频率会有特殊的关系存在，这个特殊关系也就是Razavi在E1ectronicsCircuits2中第43节课末尾叫你记住的部分，可以直接运用的结论4（黑板反光好厉害），文字版如下所示:1 .零点对应上升。幅度是在零点处有20dBcdecade（十倍频）斜率的上升，相位有45度的相加，在0.1W处感受到零点，开始变化，

9、在IoW处变化结束，有90度加成。2 .极点对应下降。幅度实在极点处有-20dBcdecade（十倍频）斜率的下降，相位有45度的相减，在0.1W处感受到极点，开始变化，在IOW处变化结束，有90度的减去。换句话说，如果你想零极点存在这样的幅度和相位关系，你就必须进行对应。数学上的多项式解S和工程上的频率3必须要进行对应才可以使用。大部分人零极点分析学的云里雾里，就是这步对应没学好。至于怎么对应，这是纯数学上的关系，下面内容对单实极点会有一个简单的推导。工程与数学形式第二注意点第一个注意点就写了这么多，希望大家看下来能懂了j3-J:的原因，那第二个注意点是什么呢？是=-工。这个频率对吗？当然不

10、对，频率不可能是负数。RC那这里极点对应的频率是多少呢？是0）=今，没有负号。为什么是这个值？其实也没有什么可奇怪的，负数是数学下的解，到工程里面就对应为正数，而且正数满足零极点的幅度和相位对于频率的关系。我们把这里的传输函数改写一下：（有s=j,=能）1111一乃H（S）=QJ4IsRC+1jRC+1;+12在3=这个极点频率处，有20咏偿)=20108(2)-*=-3此，幅度下降TdB,相位下降-45度。另一方面，与-20dBdec怎么对应上的呢？看H(X)=WTP幅度H(%)=1+(3Re)2号当频率3远离极点频率变小时，即5有IH(X)I(eoRC)T=-201og(C)=-201og

11、-20og(RC),斜率的-20dBdec的关系就有了。如果是数学上的极点频率=.,那传输函数H(S)=/是无法满足上述幅度和相位的要求的，更别提频率是不可能为负数。上图会更直观。如下图所示，这里的传输函数为H(x)=W，极点频率3=1。这里没有讲相位和频率的关系，这个原理其实差不多，都是座离后的近似，我就直接摘了一段英文的解释贴在下面。一工一3PZU6BWFrequencyradsFigme1-1-Frequencyresponseforasimp1epo1eat=一!(144)1etsstartasbeforebyconsideringafirst-ordercircuitwithasim

12、p1epo1eatS=-1H(S)=H(jco)=s+1/0+1T1iephaseofthetransferfinctionisgivenby(1.45)NH(J)=-tan-1()Theasymptoticbehaviorfor1and1canbeeasi1yfoundNH(Je)=O0;1-90o10-210-1110102FrequencyradsFigure1-14-Bodephasep1otforasimp1epo1eavS-上面这一套幅度和相位对频率的关系，也就是第一个注意点里说的数学和工程上的对应关系“对单极点会有一个简单的阐述o二阶系统也一样，如下图，都是为了幅度和相位对频率的

13、关系而做的数学与工程上的对应。3020Wio0-10-20-30-4001%CA10Frequency,rads所以你应该懂了，不一定分母为零的根就是我们要的极点频率，中间是需要做个对应的。单实极点就是负数转正数就可以了。最后再说一点，我们算零极点都是对稳定电路进行处理，所以H(x)=-中的P是sP必然小于零的，这样有s=pO,极点在左半平面，电路稳定。无论传输函数的形式是H(X)=-1还是H(X)=-1,s0都是需要满足的关系，所以极点为负数很正S-ps+常。如果为正数会出现什么情况呢?假设有电路的传输函数形式为H(S)=焉三，极点S=上，首先极点为正，在右半平面，这是一个不稳定的系统。如果

14、再对应RC一下，H(s)=-1=3e或，这幅度和相位与频率的关系都与零sRC1)tore1J1V2极点的要求对应不起来，所以是不需要管的，直接抛弃或者修正就行了。总结零极点的分析基础主要是区分数学和工程上不同的应用，不能硬套公式。如果下次再有人问你，极点不就是分母为零吗，那为什么这里#%*.?这种一般就是数学和工程之间没有建立对应，你就把这篇文章转给他/她看看。我是看到知乎上一些回答，硬套数学公式明显不对的情况下，还有不少人点赘，所以写了一篇这样比较基础的文章。如果后续觉得有什么需要添加的，我也会继续更新。参考文献1en.wikipedia.org/wiki/P一2 Razavi,DesignofanaIogCMOSintegratedcircuits,2nd.3 EETOP创芯网论坛(原名：电子顶级开发网)-4 最准中英文字幕，RaZaViE1eCtrOniCSCirCUitS2,拉扎维电子电路2哗哩哗哩biIibiIi5同时感谢其他知乎er的创作，这里给出一个我看过的优秀答主关于零极点分析的链接，控制系统中的零极点有什么物理意义么？有需要的可以移步,没有任何利益关系。