中值定理与导数的应用0.docx

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1、第三章中值定理与导数的应用1中值定理必作习题P1661,2,3,5,6,7,10必交习题一、证明：当x1时，eex二、证明方程炉+x1=0只有一个正根。三、设/(x)、g(x)在,b上连续，在(a,b)内可导，证明在(0,b)内有一点J,使得f(a)f(b)g()gS)=-a)f(a)(C)g()S,()四、证明：若函数/(无)在(一8,+8)内满足关系式/(X)=/(X),且/(0)=1,则f(x)=ex.五、设函数y=(x)在=0的某邻域内具有阶导数，且/(O)=(0)=.=w-1)(O),试用柯西中值定理证明：22=f(叫00)二、证明：当x0时，1+x1n(x+J1+/)J1+Y；X-

2、a三、设在4,句上/(X)0,证明函数O(X)=在(,b上是单调增加的。P1891(3)(4)(6)(7)(12),2必交习题一、求下列函数的极值：(1) y=43arctanx-2arctan-；(2) y=excosx：x(0,2)(3) y=(2x-5)VP-二、试问为何值时，函数个）sin旧sin3xQ=?处取得极值？它是极大值还是极小值？并求出此极值。三、讨论方程InX=口（其中。0）有几个实根？P1941(2)(3),4,5,7,9必交习题一、求函数f(X)=x4-2x2+5在-2,2上的最大值与最小值。二、设/(%)=/1r(I-)5N),求(1) f(x)在0,1上的最大值M(

3、);(2) IimM(n)三、要造一圆柱形油罐，体积为V,问底半径r和高h等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高之比是多少？四、从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形做成一个漏斗（图见P期的图319）,问留下的扇形的中心角。取多大时，做成的漏斗的容积最大？P2001(3)(4),2(2)(4),3(1)必交习题一、求曲线y=(121nx-7)的拐点及凹凸区间。二、试决定=以一-3)2中&的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。ex+ey三、利用函数图形的凹凸性证明不等式：2(xy).四、设y=f(x)在工二/的某邻域内具有三阶连续导数，如果(Xo)=0,ff(xo)=O,而/试问X=XO是否为

4、极值点？为什么？又(%,/(%)是否为拐点？为什么？曲率P2061,3：P2171,2,3,4必交习题一、描绘下列函数的图形：(1)y=eW(2)y=x2+X二、对数曲线y=Inx上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径。三、证明曲线y=och2在点处(x,y)的曲率半径为匚。aa习题课必作习题P23312,3,4,8,9,10(2),17必交习题一、设/(%)在o,a上连续，在(0,)内可导，且/()=o,证明存在一点g(0m),使70+4/=0。二、设(Kvb,函数/(x)在小切上连续，在3,力内可导，试利用柯西中值定理证明:存在一点(4,b)，使f(b)-f(a)=f,()n-。a三、设/(x),g(x)都是可导函数，且，(X)IVg(x),证明：当x时，-/g*)-g()。四、证明不等式：当0兀冗,2包。2tanx1x1工?”X0五、设/(%)=1,求/(X)的极值。%+2,xO六、设函数F(X)在。，+8)上二次可微，且满足：(1)/(a)=AO:(2)()6t),证明方程/)=0在出，+8)内有唯一实根。