17种平面对称群的拼花游戏.docx

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1、17种平面对称群的拼花游戏瓷砖地板，马赛克墙壁，镶嵌的边界，连锁的拼布设计一直吸引着我。从古代开始，镶嵌图案就被用来创造几何表面设计。虽然埃舍尔的具象图像令我惊讶，但更传统的联锁几何设计最吸引我。我一直渴望创造这些类型的图案这激发了我对镶嵌的兴趣。实验，从最简单的形状开始，导致了许多发现，我将在本章分享。我们不仅将探索如何通过将对称性应用于各种形状来制作镶嵌，还将探索如何增加价值和对比度来为几何图案添加全新的维度。图9.1古埃及镶嵌式建筑装饰适用于所有表面设计者的镶嵌由于我的大部分设计工作都与拼布和桁缝有关，我第一次通过纺缝者的眼睛来看镶嵌图案。我很快发现，我发现的技术对我来说是印花面料设计的

2、宝贵一课。事实上，控制镶嵌创建的原则适用于曲面设计的所有领域。从令M.C.埃舍尔着迷的西班牙阿尔罕布拉复杂的马赛克瓷砖设计，到玻璃、纺织品和平面设计的当代艺术，马赛克无处不在。这里将讨论创建传统几何镶嵌的两种方法。第一种方法是从单个形状开发设计，第二种是从现有的传统图案开发镶嵌图案。从简单形状创建几何镶嵌要创建完全正方形的几何镶嵌，必须从正方形、矩形或直角（半正方形）三角形开始。诀窍是保持两边不变，这样当你制作的多个单元聚集在一起时，它们总是形成一个完美的正方形。只能对单侧或相邻的两侧进行更改。这些改变，就像它们被做成的形状一样，必须是有角度的和几何的。从正方形中取出一条曲线段不会产生我们在本

3、章中讨论的几何设计类型。使用任何底层网格都会使角度和线条变得更加均匀，并帮助您根据形状进行相应的修改。网格还将提供一个指南，以更大的尺寸重新创建设计。使用正方形只有两种操作可以在正方形上执行，这两种操作将得到也是正方形的瓷砖。第一个是围绕其中一个角的旋转，第二个是在其中一个边上的中点旋转。绕角旋转首先，从正方形的一边切下一块，然后绕着其中一个角旋转。然后围绕同一个角旋转四个最终图案，形成一个更大的正方形。在这一点上，瓷砖可以作为一个线条画或交替单元可以着色深和浅。尝试这两种方法，看看不同的效果。接下来，可以将该瓷砖视为基本单元，并且可以应用所有不同的对称性来产生几个附加的镶嵌设计。由于瓷砖是由

4、四个具有旋转对称性的单元组成的，如果没有重复的部分，就没有那么多的图案可能性。许多对称会给出相同的结果。图9.3显示了几种可能的模式。平移(p1)、中点旋转(p2)和风车旋转(p4)都会产生相同的图案(1)。镜面(Pm)、滑动(Pg)和滑动交错镜面(Pmg)都创建了第二个图案(2)。同样,双镜面(Pmm)、双滑动(pgg)、镜面风车(p4g)和交错镜面(Cm)都会产生第三种图案(3)。前三种图案都产生单一的镶嵌图案,但接下来的三种图案特别有趣，因为它们产生了两个或更多完美互锁的图案。交错的双镜像对称(Cmm)产生了第四个图案，它结合了图案(2)和(3)中的两个图案。第五个图案也包含两个不同的主

5、题，一个出现在(2)中，另一个出现在Q)中。为了达到这个设计，四个旋转的正方形被镜像。第六个图案包含三个镶嵌图案，第一个来自图案(1),第二个来自图案(2),第三个来自图案(3)。Ra1o1cOfnundoneof/ccornczs(1ocfo/ghtf图9.2围绕一个角旋转以创建方形瓷砖。Co1ora11crnatcsquadsdarkand1gh1Woikmqwithanudf1ymggndcutopieceouto1orrydcofoUjuafCRoto1ctouto1fescmodtht,dsquaresa/oundtheamecornrthathrCUqQrUItrotation1o

6、okp1ace图9.3来自同一个旋转单元的六个图案。ITfam1ation(pi).EfdPOtn1rototion(pi),andptmcc1(Ma11pioducctheRfnCpattern2.Mot(pm),g1ide(pg),andgMcdMogqctcdnto(Pmg)a11fcu1tintheionicPoUC，n.JDoub1emrof(pmm),doub1egfpyg).mirroredpinwhee1(p4g).andSfugyprec/nutrot(tn)a11resu1tinthetomvpotrzn451g9*P(Cfnm，5$ft%pa1tern”/oned/9,w

7、。，thevufc“nv。，Sgthem(tn)toCoAsgIM3fc2,Q1vdxvfantidouMre”/o/j”tegnz)，o9QM正如你所看到的，当你对一个正方形做一个简单的改变时，就会出现各种各样的图案。一侧中点旋转中点旋转是第二个操作，它将产生一个正方形的镶嵌瓷砖。首先，一个简单的中点旋转到正方形的一边将产生一个矩形图案。要回到正方形，该形状必须被镜像或平移(插图9.4)o然后可以将各种对称应用于该图块。我发现用这种方法,最有趣的镶嵌是通过将风车(p4)对称应用于任一瓷砖而实现的(图9.5)o图9.4.通过中点旋转重新制作方形单幅图块。Trum1a1ionMirror图9.5

8、o风车(P4)对称应用于正方形瓷砖。Srvmodefromamrwrec10n9SquarematfromaIrom1otfdr9ondfo(pt)awfro!atro(p2)图9.11通过将不同的对称操作应用于从直角三角形创建的阴影瓷砖来创建更多的设计。价值和对比的神奇效果从我第一次开始桁缝，传统的联锁设计，如银河和弗吉尼亚卷轴引起了我的兴趣。我想不出看似复杂的形状是如何如此完美地连在一起的。我想知道如何才能创造出类似的设计。当我开始研究镶嵌时，我意识到这个概念非常简单，可以分为两步:用明暗对比给图案着色，然后应用对称性。正如我们将看到的价值增加了一个全新的维度，允许镶嵌从以前似乎不存在的模

9、式中出现，就像变魔术一样。从传统被子图案中创造镶嵌图案当看到弗吉尼亚卷轴积木的单个单元的线条画时，很难看出这种看似复杂的设计是如何从如此简单的图案中产生的。大多数人倾向于用一种非常传统的方式给线条画上色，创造出如图9.12所示的设计。然而，为了创造互锁的弗吉尼亚卷轴图案，积木被涂上了完全不同的颜色。图9.12弗吉尼亚卷轴图案的线描设计和传统的明暗处理设计。明暗阴影四分之一部分两个完全相同且相对的四分之一截面为深色，其余两个四分之一截面为浅色。设计现在互锁，因为那些四分之一部分现在混合在一起，以超出每个区块中严格的四分之一正方形。当四个方块围绕其中一个角旋转时，弗吉尼亚卷轴的图案就完成了，这样就

10、产生了重复的方块，如图9.13所示。一旦我发现了遮蔽弗吉尼亚卷轴的秘密，我意识到同样的技术可以应用于任何传统的被子设计。一个全新的镶嵌图案世界出现了。图9.13这里的设计被明暗相对的四分之一部分所遮蔽。然后旋转其中的四个方块以产生重复的方块。图9.14弗吉尼亚卷轴上的一、二、三主题图案。fhmUdtfOn(fi1)./r比g*V,gtnng)S20c,2/WtrfOfUmf,fou6(e而aOvna*(pgKuMrSr*jrr/dxrmwcrm)a3xmtwomcMAm9mrfinohfi/Mf)A4cM0t9、即Gat/rrchp*odUtc。moreMffCmo7/0/rpefrtrrIh

11、vfgfpffvcan加*createdbr00VB9dmctnot4vwrAXvnr，Z)0。J，AsrwpyChr,cu11Aftew(tvAQ1dtdtorrdrxtw(ptf)的rrca1a/in9*如，enwIyEmrr，rdefrfrrMc19仇ngdonN9n如“g6fpem怖Gnrwcp*Vhrr/卬7tmctfr此外，这种给一个区块的两个相对的四分之一区域加上黑色和另外两个颜色的技术令人兴奋的部分是,你不必仅仅停留在一个设计上。理解了方块的对称排列，就很容易做进一步的实验。通过将其他对称应用到同一块积木上，更多的镶嵌图案出现了。因为单元本身在单元内具有对称性，所以可以应用于正方形的11个对称性中的几个将产生相同的结果。但仍然有几种不同的模式的可