矩阵分解及其应用.docx

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1、1.基本概念矩阵分解的概念性表述即将矩阵进行分解，使其拆解成多个矩阵的乘积。此理论的提出为解决数学线性代数问题起到非常重要的作用，本文将重点针对矩阵分解的一系列方法,如三角分解、满秩分解等进行重点讲解，矩阵理论涉及到许多基础知识，下面进行对相关基础知识的总结.(1)矩阵：由机X个数排成的加行列的数表称为加行列的矩阵，简称7X阶aWan矩阵.记作：；,这MX个数称为矩阵A的元素，简称为元，数%.位于矩I。anm)阵A的第i行第/列，称为矩阵的(i,/)元，以数为为(i,，)元的矩阵可记为()或()wjm，加X矩阵A也记作A,aWak(2)顺序主子式：设A为X阶矩阵，子式&=；.；(Z=1,2,称

2、为A的，阶顺序主子式.对于X阶的矩阵4,其共有阶顺序主子式，即矩阵A的顺序主子式由。Q2，Dn一共n个行列式按顺序排列而成.(3)单位矩阵：主对角线上的元素都为1,其余元素全为O的阶矩阵称为阶单位矩H.0、阵，记为/或纥f,E=:.e(4)可对角化矩阵：设一个阶方阵A,如果存在一个可逆矩阵尸，使得PTAP是对角矩阵，则A被称为可对角化矩阵.2三角分解2.1 矩阵三角分解基本概念定义2.1.1设mx阶的矩阵A,以主对角线为分界线，若在其之上的各部分元素皆是0,则代表是上三角矩阵；反之，若在其下的各部分元素的值都等于0,则代表下三角矩阵.定义2.1.2酉矩阵：若一个阶的复数矩阵U满足U=AA=E,

3、其中矩阵E为阶单位矩阵，A为U的共物转置，则称U为酉矩阵.定义2.1.3对角矩阵：在矩阵中，如果除了主对角线，其它元素均满足等于O的条件,那么则表示对角线的值可以有多种，包括O或其它值。对角矩阵可以记作：diag（.a1,a2,.9an）.定义2.14三角分解（1U分解）：设一个阶矩阵4当A的前一1阶顺序主子式均不等于0,则表示将矩阵A进行1U分解只有唯一一种形式，那便是下（1）、上（U）三角矩阵的乘积，若有A=1U,如果与A对应的元素算出，则1U的值也能计算出来叫定理2.1.5三角分解（1z）U分解定理）：设有矩阵A,同时它的n阶满足非负奇异矩阵，那么在此情况下便能发现有唯一的1,对角矩阵O

4、=dig（4，4,力）和单位上三角矩阵U使得A=1z）U的充分必要条件是A的所有顺序主子式均非零.2.2 矩阵三角分解常用方法及举例（DGaI1SS消元法%+=4对于阶线性方程组,的西+%/+,+&/“=,设有一个X阶方阵a,其中“阳+42Z+w=dA=a2,力=(伪也,也尸，X=,/,Z),，使得，假如即(),4an2ann)那么将第一行乘以（一31）加到第i行。=1,2,.,）,从而矩阵A可以化为这就相当于将矩阵A左乘一个单位下三角矩阵Pi=10一91如0.0得到A，再将a一&_.1kau的第二行乘以（一%7）,并加到A的第i行（i=,2,.1）,故矩阵A可以化为“22100100这就相当

5、于将矩阵A1左乘一个单位下三角矩阵鸟二得到4,然后依0-细.1a22次这样进行，直到将矩阵A化为一个上三角矩阵4”为止，这就相当于将矩阵A依次左乘单位下三角矩阵巴，Pn_,使得EITeI_266A=U,其中力U12.U1yU=05%公J00J设矩阵A是阶非奇异阵，且可以做三角分解（即A的所有顺序主子式均不为零），,则矩阵A的Doo1itt1e分解的紧凑计算格式:204、例题2求矩阵A=119的DOoIittIe分解J2-3,解根据DOOIittIe分解的紧凑计算格式可知，.a,1.%1.%=q=2,m12=12=0,43=43=4，21=一=彳，hi=M22=-Z21M12=1w2M11223

6、=。23一，2m3%,32=(。32一4/12)%“33=33一，3四3一，3223=T%所以A的U22DooIittIe分解为(1OO1204、A=-1OO172I、0O-19；-202/（3） Cho1esky分解定理2.110（Cho1esky分解定理）设阶Hermite正定矩阵A,则存在唯一一个复数域C中的X阶下三角矩阵E使得A=1ii1.设A是阶Hermite正定矩阵，根据A=11f可知则有%=J十年力，故可以得Hermite正定矩阵A的Cho1esky分解的紧凑计算格式:=1%=JqJ;IiI=yt,i=2,.,n;-1Ikk=JaMI，k=2,n;/=1(k-1Iik=不aiky

7、JJkt,i=&+1,；&=2,几,/=170、-1的ChO1eSky分解,9-2例题3求矩阵A=-33J-1解由Cho1eSky分解的紧凑计算格式可知：11=J=3,21=-j-=-1,31=-=0,11*1122=2,Z32=-y=,133=*，因此A的ChO1eSky分解为故可以得出1=2-0.5k0.5O21.50、O3-1O2123OO、-12O0-1-21;2解矩阵A的第一列列向量四=(12,6,-4)7,则有=京(一1,3,-2),，那么”377Q1=-2wwr=I-777-26Q7主要利用矩阵初等变换中的把矩阵的某一行（列）的Z倍加于另一行（列）上的方法.(6-69587V75

8、175Q=Q1Q1=3158-67175175-2633T75175421-14、且R=QA=0175-70、00-35；定理3.1.6设矩阵A是根X阶的实矩阵，那么AAT是对称正定的，故AAT是能够拆解成正对角元矩阵，下、上三角矩阵乘积，即A4r=1etrm.定理3.17设矩阵A是实数域R上的7X阶的列满秩矩阵，这意味着矩阵秩是与列数相等的，所以可将A进行一个初等变形，然后拆解成正交矩阵Q和非奇异三角矩阵R,即A=QR.方法：先解出矩阵AA1对A应用第三种初等变换，这样就可以得到一个主对角线的值全部都是正数的矩阵，也可以说是将初等矩阵进行了行变换和列变换，从而得到了一个上三角矩阵和下三角矩阵

9、B,使得BTATAB=diag（4,d2,.,d,J,令C=dig（4，4）则有CT（B77B）CT=/故令Q=ABC1,R=CB1,即可得到分解式.r11叫例题6其中设矩阵A=-411,用初等变换对矩阵A进行QR分解1142-2、解首先求出AA7=240,并对AAT施行矩阵第三种初等变换，可得204,(13、(AA(C122400、=,其中B=013,C=030.因此可得EIbJ/0010-b3j-4463)8那么就有Q=ABC3-410T4满秩分解1.1 满秩分解基本概念定义4.11设矩阵A为阶矩阵，同时将该矩阵的秩设为广，如果该矩阵的行数等于秩；若A的列数与矩阵的秩r相等，则称A为列满秩矩阵.定理4.12（满秩分解定理）设矩阵A是一个“X机阶的，且A的秩为，（大于零），若存在一个Xr阶的列满秩矩阵N和一个X”7阶的行满秩矩阵M,使得A=NM,那么称这种分解为矩阵4的满秩分解吗定理4.1.3任意的nm阶的非零矩阵都有其满秩分解叼1.2 矩阵满秩分