蚌埠学院学一食堂排队分析3.docx

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1、蚌埠学院学一食堂排队分析江琪(50905012007)汪亮(50905012023)吴影丽(50905012023)蚌埠学院数理系09级数学与应用数学(2)班引言伴随着“叮铃铃”的放学铃声，同学们都从四周八方成群结队的涌向食堂，立刻间，原来空荡荡的食堂一下变得水泄不通，一群群饥肠辘辘的同学着急的在窗口前排着队伍。漫长的队伍似乎一条条长龙阵似的，一点点的吞噬着同学们的急躁，所以我们在校内里能常常听到同学们埋怨声：“队伍怎么这么长啊！”，“窗口怎么这么少！”，“排队时间怎么这么长！“众所周知，增加食堂窗口无疑给同学削减了排队时间，但就对食堂而言，提高同学对该食堂的满足度，从而获得更多的同学到该食堂

2、就餐，但1运营成本就相对的增高了，因此如何在这两者之间进行权衡，找到最佳的窗口数量，对同学和食堂双方来说都是至关重要的。对此,我们就我们蚌埠学院学一食堂中午的拥挤状况进行了调查，建立了数学模型，运用排队论的观点进行数学分析，最终找到一个较为合理的解决方案。摘要1、 开头，我们对所调查的数据进行数学分析，发觉同学流符合泊松分布，服务时间符合指数分布，由此我们的模型就变成了排队论中典型的MMn模型，依据MMn模型中的各效率指标的公式，我们可得到学一食堂拥挤状况的各方面数据。2、 依据模型求解得到的数据，我们对模型进行了更精确的量化分析。通过应用排队论，为食堂窗口服务工作构建相应的定量模型，为节省同

3、学排队就餐时间，提高食堂服务质量、效率，以及平衡同学排队时间与食堂收益之间的关系，优化食堂资源配置供应一种较有效的管理决策手段。3、 针对窗口数量与同学平均排队时间之间的关系，我们从经济学角度进行了分析，比较增加窗口后成本的增加量与削减排队等待时间所带来的收益之间的大小关系，最终得出学一食堂设置6个窗口最为合理。进一步，我们结合经济学中的竞争原理，分析了现在设置5窗口的缘由。关键字排队论MMn模型灵敏度等待损失学校食堂排队时间排队等待时间窗口服务同学服务时间模型的建立与分析由于周末同学不用上课，所以同学去食堂的时间较为分散，很少发生排长队的现象，我们在此就不做分析了。我们仅就周一至周五的食堂拥

4、挤状况进行分析。经我们观看发觉，一般打到饭菜的同学都能找到座位吃饭，所以我们可以认为食堂的座位数量是足够的，无需添加新的桌椅。所以，解决食堂拥挤状况，主要是解决排长队的问题。我们将就此问题建立模型，进行分析。调查数据我们调查了从2023年4月25号到4月29号（周一至周五）11：35至11:55高峰期学一食堂的同学流分布状况：共统计了2164人次的数据，见下表：表一每20秒到达人数1234567频数12627842165738720887由概率论学问我们得知，假如分布满足则该分布为泊PkTk松分布。由上表可得，=4.04O经过检验可知此分布近似于泊松分布。虽然我们只调查了学一食堂一周的数量，但

5、考虑到同学到食堂就餐具有较大的稳定性，所以认为调查的数据还是较为牢靠的。此外在非高峰时段很少发生排队现象，所以在此我们就不做争论。模型假设1、假设每位同学来到食堂都是自觉排队，没有插队现象。2、每位同学只打一份饭菜，没有帮别人代打状况。3、由于学校同学多，而食堂少，在中午时段，同学又大都集中在11:35至11:55这一时间段赶去食堂吃饭，所以我们可以认为在该时间段中同学源是无限的。4、每个窗口菜色都一样，饭菜的供应量充分，同学到任何一个窗口都是随机的。5、食堂实行先来先服务的原则，我们假设排队方式是单一队列等待制。6、观看发觉每个窗口服务人员工作效率是随机的，认为其满足指数分布，平均每个同学的

6、服务是60秒，而且服务员之间并无差异。7、以20秒为一个时间单位。模型建立基于以上的假设，我们的模型符合排队论中的多通道等待模型(MMn)该模型特点是：服务系统中有n个服务员，同学按泊松流来到服务系统，到达强度为入；服务员的力量都是U,服务时间听从指数分布。当同学到达时，假如全部服务员都忙着,同学便参与排队，等待服务，始终等到有服务员为他服务为止。这个系统的效率指标有:顾客到达强度每个顾客的平均服务时间r服务员力量H=!t系统服务强度，即平均每单位时间中系统可以为顾客服务的时间比例P=A空闲概率与=()+民工J片，！!(n-p)J系统中排队同学的平均数：1=Pf-n!(1)2n同学平均排队时间

7、：W=同学平均逗留时间：Wo=W+，系统中同学的平均数：1=1+p模型求解由我们调查的数据，经过计算得到入二4.04r=Iminn=5代入以上各式得到:服务员力量U=I=It系统服务强度P=2=4.04空闲概率4=(4)+/=0.014片，！n(n-p)系统中排队同学的平均数：1=Pw-=3nn!(1)2同学平均排队时间：v=o.74同学平均逗留时间：0=+=1.74系统中同学的平均数：10=1p=8由此可见，当我们中午在11:3511:55这个时间段去学一食堂吃饭时，一进门就会发觉里面人满为患，几乎不行能找到空闲的窗口。而且，已经8个同学在排队买饭。3人正在排队等待，平均一个窗口5人。当我们

8、开头排队时，要过60秒才能轮到我们,要过80秒我们才能吃上可口的饭菜。为了检验我们的数据与事实相符，我们特地亲身体验了一番，下表就是我们的统计数据：表二时间4月25日11:354月26日11:404月27日11:354月28日11:50日排队等待人数3435排队等待时间65706075忽视那些随机因素，我们得到的那些结论和实际数据还是较为符合的，可见我们的模型建立的还是很胜利的。模型分析对于同学来说，中午的时间还是很有限的，能尽快吃上饭对我们来说还是很重要的。同时，同学在食堂排队的平均逗留时间WO很大程度上可以打算同学对食堂的选择，所以食堂工作人员也盼望尽可能满足同学的需求。我们认为平均服务时

9、间t不行转变。因此能对平均排队时间构成影响的就只有窗口数量n了，下面我们将就n的取值对W的影响进行分析：由mat1ab我们可以得到他们两者之间的图形:窗口数的优化设计从以上的灵敏度分析可知，当窗口数超过6时，即使增加再多的窗口，其平均排队时间的拜年话肯定值大小也只在5秒左右，而这么少的时间间隔我们认为对同学是不会造成什么影响的。但是增加窗口会给食堂带来巨大的成本压力，他们当然也不行能增加。至于小于5个窗口时，平均排队时间会有所增加，这就会引起同学的埋怨，造成学剩的流失，当然也是不合理的。因此，我们可以看出，最佳的窗口设置是6个或7个。对于同学方面来说，当然是排队等待时间越短越好，即7个窗口比6

10、个好。对于食堂方面来说，窗口数的增加一方面会导致成本的增加，另一方面会缩短排队时间，即意味着它能为更多同学服务，所以它是否会增加窗口数就取决于成本和收益的大小关系。一般来说，每增加一个窗口，需要多配备三名服务人员以及一些配套的设施。所以增加窗口数所带来的成本等于新增服务人员的工资加上配套设施的修理与清洗费。新增窗口得到的收益是很难估量的。在此我们引入等待损失的概念，即由于排队等待食堂所削减的收益。如食堂每分钟可得收益a元，但是由于队列过长，顾客不得不排队等待服务，这意味着食堂无法准时为这些顾客服务，每等待1分钟，食堂就损失a元。所以我们得到等待损失等于食堂单位时间收益乘以平均等待时间乘以顾客数

11、。我们调查得知蚌埠市餐饮行业服务人员的每月平均工资为700元，即每周平均175元。至于配套设施的修理与清洗，我们可大致认为其每周不超过300元。由此可知每增加一个窗口，食堂的成本就得增加825元。至于食堂从每个同学身上可获得多少利润，由于同学要的菜不同，而且菜的利润也不同，所以是很难确定的，故我们由一般规律假定其每十秒钟可得0.5元利润。所以，同学因等待而使食堂发生的损失,Q=03X3059W,当窗口数从6变为7时，食堂可少损失AQ=O.1X3059义W=0.53059(2.7-0.523)=3329.72元。由此可知最佳的窗口数为6。然而事实是学一食堂的窗口数是5,在这么长的实践时间里，莫非

12、是食堂人员没有发觉当窗口数增加到6时，其利润会更多吗？还是有其它缘由呢？其实从理论上来讲，单从一个食堂来讲，6个窗口是最合适的。但是事实上由于整个学校的同学人数是肯定的，故我们的假设中的第一条，同学源是无限的是不太合理的。当学一食堂增加窗口时，必定会夺走其它食堂的同学，因此其它食堂也肯定会同样增加窗口，使同学在各食堂间进行从新安排，最终达到新的平衡。可能到头来，虽说学一食堂削减了平均排队等待时间，但同学并没有增加多少，利润也没多大变化，这是得不偿失的。所以学校食堂之间的竞争有些类似于经济学中寡头的竞争，他们为了攫取最大的利润，彼此之间达成了某种默契，把实际价格定得比理论价格要高。反映在我们食堂

13、的窗口数设置上，就是学一食堂选择了5个窗口，而不是6个窗口。我们认为学校食堂应以为同学服务为宗旨，不应只看重经济利益，所以剧烈建议学一食堂增设一个窗口，以满足同学的需求。体会接触数学建模这门学科已有两个多月了，从老师安排了作业后，我们队的三人就开头分头行动，一人负责去图书馆查阅资料，一人在网上搜寻相关信息，一个人建立模型，通过三人的努力，我们最终建立好了模型并编程求解，经过艰苦的奋斗，最终完成了论文的写作。从选题到完成，这篇论文我们足足预备了近三个多星期。一个学期的数学模型课，最终的成果都集中在了这篇论文中，可见其重量之重，我们自然不敢懈怠。可是正应了老师说的那句话，在我们的四周有着许多的数学

14、，问题在于我们怎么去发觉它，解决它。经过好几天的考虑和比较，我们选择了这个和我们每天的生活都亲密相关的题目。题目是有了，可是要调查的数据却极为浩大，我们抱着不撞南墙不回头的精神，硬是耐着性子坚持了一个星期的细致调查。我们信任，道路是曲折的，前途是光明的。尽管中间不时传来其他同学已经做完的消息，可是当我们看着自己辛苦调查来的真实数据时，我们感到极其满足。由于我们的论文用到了排队论的学问，所以我们特意去图书馆借了本陆凤山先生的排队论及其应用。我们在用新方法时，不仅要会用，还要知道为什么。所以，我们花了两天来争论排队论中各概念的含义和计算公式。接下来就是模型的建立与分析了，为此我们进行了明确的分工。

15、模型的组建和求解过程是由江琪同学完成的，模型的分析是由吴影丽同学完成的。至于模型的优化设计,是我们在共同的争论下完成的。在处理处理这一问题时，汪亮同学制造性地提出了等待损失的概念，使我们的模型能从经济学的角度进行量化分析。在于事实的验证中，我们遇到了个麻烦，即我们的结论与事实有出入。在我们怀疑自己模型的正确性时，我们从图书馆里找到了关于寡头竞争概念的书籍，很好的解决了这一冲突。最终截稿了，我们的模型虽然有一些不足之处，但是我们认为整体来说还是很胜利的。一个学期的数模课让我们学到了许多分析问题的方法与思想，虽然在这篇论文中没有全部运用，但是这为我们将来用数学学问解决实际生活中的问题打下了良好的基础。最终感谢建模老师在这次作业中赐予我们的关心。