第十二讲全等三角形的常用辅助线作法完美版(备用版).docx

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1、第十二讲全等三角形的常用辅助线作法【知识梳理臬1、找全等三角形的方法：（I）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看己知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。2、三角形中常见辅助线的作法：延长中线构造全等三角形；利用翻折，构造全等三角形；引平行线构造全等三角形；作连线构造等腰三角形。3、常见辅助线的作法有以下几种：（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”O

2、【专题精讲】：例1:如图，AABC是等腰直角三角形，ZBAC=90o,BD平分NABC交AC于点D,CE垂直于BD,交BD的延长线于点E。求证：BD=2CEo思路分析：1）题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用2）解题思路：要求证BD=2CE,可用加倍法，延长短边，又因为有BD平分ZABC的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。解答过程：（2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”O例2：如图，已知AABC中，AD是NBAe的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ABC是等腰三角形。思路分析：1）题意分析

3、：本题考查全等三角形常见辅助线的知识。2）解题思路：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了AD又是BC边上的中线这一条件，而且要求证AB=Ae可倍长AD得全等三角形，从而问题得证。解答过程（3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。例3：已知，如图，AC平分NBAD,CD=CB,ABAD求证：ZB+ZADC=180o。思路分析：1）题意分析：本题考查角平分线定理的应用。2）解题思路：因为AC是NBAD的平分线，所以可过点

4、C作NBAD的两边的垂线，构造直角三角形，通过证明三角形全等解决问题。解答过程：解题后的思考：关于角平行线的问题，常用两种辅助线；见中点即联想到中位线。（4）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”例4：如图，AABC中，AB=AC,E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF交BC于D,若EB=CFo求证：DE=DFo思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。2）解题思路:因为DE、DF所在的两个三角形ADEB与DFC不可能全等,又知EB=CF,所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换：过E作EG/CF,构

5、造中心对称型全等三角形，再利用等腰三角形的性质，使问题得以解决。解答过程：解题后的思考：此题的辅助线还可以有以下几种作法：例5：ZXABC中，ZBAC=60o,ZC=40o,AP平分NBAC交BC于P,BQ平分NABC交AC于Q,求证：AB+BP=BQ+AQo思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。2）解题思路：本题要证明的是AB+BP=BQ+AQ。形势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过0作BC的平行线。得AADOgAAQOo得到OD=OQ,AD=AQ,只要再证出BD=OD就可以了。解答过程：解题后的思考：（1）本

6、题也可以在AB上截取AD=AQ,连OD,构造全等三角形，即“截长法”。（2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：如图（2）,过0作ODBC交AC于D,则AADOgZABO从而得以解决。如图（5）,过P作PDBQ交AC于D,则AABPgZXADP从而得以解决。小结：通过-题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。（5）截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。例6：如图甲，AD/BC,点在线段力夕上，NADE=ZCDE,DCIBCD=80。2、已知，如图2,Z1=Z2,P为BN上一点,且加上BC于点口A济BC2BD0求证：N的周N40M8O。3、已知，如图3,在447中，乙C=24B,N1=N2。求证：AB-AOCDo