第十二讲函数列与函数项级数.docx
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1、第十二讲函数列与函数项级数12.1函数列与函数项级数的收敛与一致收敛一、函数列(一)函数列的收敛与一致收敛1 .逐点收敛函数列(x),xc/,若对x数列zj(x)都收敛,则称函数列在区间I上逐点收敛,记/(x)=1imj(x),xZ,称/(x)为/“(的极限函数.简记为2 .逐点收敛的一N定义对VX/,及Vo,3V=7V(x,f)O,当N时,恒有0,3V0,当nN时,对一切x恒有IEJ(X)-F(X)V,则称函数列f,(x)在区间I上一致收敛于/(x).记为力(x)=(XX8)xe.4 .非一致收敛BoO,对NOJoN,及3,使得例12.1证明力(X)=X在0,1逐点收敛,但不一致收敛.证明:
2、当x,1时,Iimf(x)=Iimxrt=0,当X=I时,IimE1(I)=1,即极限函数woo.roW-oo为/(x)=101).但/“(X)非一致收敛,事实上,取/=J00对VN0,取1,x=131%=N+1N,取Xo=(;)”(0,1)此时(%)一/()=%=g%,即A(X)工(8卜o,5 .一致收敛的柯西准则函数列力(X)在I上一致收敛O对Vf0,37V0,当n,mN时,对一切x,恒有W(X)#0,对XZN0,3w0J0N,R3x0E1,使得/(%)-Znoa)%例122用柯西准则证明:力=Sin=Z.X1)在一/,/上一致收敛;(2)在(-8,)上非一致收敛.证明:(1)对Vo,取N
3、=0,当时对一切x-j有即/(X)=Sin在X-/,/上一致收敛n(2)取4=;0,对VNO,取0=N+1N,=2o,取Xo=(-,+),则有即(x)=SinW在(_8,+)上非一致收敛n7 .充要条件函数列/,(x)在I上一致收敛于/(x)=Iimsupz,(x)-/(x1=0xe11注:这是一个非常重要的定理,判断函数列一致收敛性,用它方一便快捷.-(n+I)X+1,0X-例12.3讨论函数列=S+1的一致收敛性0,!(右=1-;=9。(8)即(二)极限函数的性质1 .连续性若满足:(1)对每一个n,(6在区间I上都连续;(2)x)=/(斓8),X1;则/(x)在I上连续,即Iim/(x)
4、=IimIimfJ(X)=IiinIimf11(x)=/(x0)xxannXf而注:其逆否命题:若,都连续,但极限函数f不连续,则必不一致收敛.可用此命题再对例12.1及例12.3进行判断.2 .可积性若满足:),a,b.则/(x)在口上可导,且/(x)=g(x),即f(x)=(1imfn(x)=Iimft1(%)n7woc注:以上三个定理的条件仅为充分条件.4,狄尼定理若函数列f(x)对每一个n,1(x)都在x4,b上连续,对每一点五凡/?,(x)为单调的,且Iim力(X)=/(x),x,则/(x)在M连续的充要条件是1fnW=f(xnoo),xa9b.证明:充分性显然,下证必要性.(反证法
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