电磁场与电磁波答案(第四版).docx

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1、一章习题解答1.1 给定三个矢量从、和C如下：=ex+ey2-ez3B=-ev4+e.C-ex5-e.2求：(1)%；(2)A-;(3)A.B；(4)0b;(5)A在8上的分量；(6)AXC；(7)4(5乂。)和(4*3)9;(8)(AXb)XC和Ax(XC)。MAex+e2-ez3123解(1)a=；,=c.+e.e.M112+22+(-3)2141414A-B=Ie+42-/3)-(一与4+*=et+ev6-e24=53(3)AB=(e*+e,2-e二3)(-ev4+e=)=11/、AB-11U3111(4)由cos.r=FTiTr=-7=-7=/得,=cos(f0=135.5,AB141

2、72384238,.,1AB11(5)A在8上的分量4=Acosab=-j-=(6)AxC=“15420CX生-3-2Cy=-eA4-ev13-e.1Oe二（7）由于SxC=0-41=8+,5+e,2050-2C4AxB=12-3=-e0-e-eAy0-41所以A(BC)=(ex+ev2-ez3)(ex8ev5+er20)=-42(AB)C=(-ex10-ey1-e.4)(ev5-e.2)=-42G4ez(8)(AB)C=-10-1-4=ex2-ev40+ez550-2Q4e:A(BC)=12-3=ex55-ex44-eA85201.2三角形的三个顶点为q(0,1,-2)P2(4,1,-3)和

3、8(6,2,5)。(1)判断AA是否为一直角三角形；(2)求三角形的面积。解(1)三个顶点(0,1,-2)、g(4,1,-3)和巴(6,2,5)的位置矢量分别为=ey-ez2r2=et4+ey-e23,=et6+ey2+e.5仆2=弓一4=eA-e=f23=r3-r2=Q2+e,+e二8,=4f=W6-ev-eJ由此可见R12R23(ex4-ez)(ev2+ey+e.8)=O故AqgA为一直角三角形。三角形的面积5=e1223=e12=769=i7.i313求P(-3,1,4)点到P(2,-2,3)点的距离矢量K及R的方向。解rpf=-ex3+ey+eArp=ev2-ev2+e.3,则Rpp=

4、rp-rp,=ex5-ey3-ez且与x、y、Z轴的夹角分别为=32.3=COS-1(，“7)=COS-199.730120.471 -1CR产P、-I夕Y=COS(-7j-)=cos/xP,=cos,(e：RP)=cosRpp1.4 给定两矢量A=%2+%3-e=4和5=与4一%5+生6,求它们之间的夹角和A在3上的分量。解A与5之间的夹角为s=cos（AB)f)=0B-31A在5上的分量为4=A间=布=-3.5321.5 给定两矢量4=C2+ey3-e=4和B=-C6-44+生，求AXB在C=Q-ev+e；上的分量。解AB=e.-4=-ex13+ey22+ez1-6-41所以AX在C上的分

5、量为（AXB）C=(A5)CK1-=-14.4331.6证明：如果A5=AC和AXJe=AXC，则=C；解由Axb=AxO则有AX(AX5)=AX(AXC),即(A.B)4-(AA)B=(AC)A-(AA)C由于A.B=A.C，于是得到(AA)B=(AA)C故B=C1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量，=AX而P=AXX，和P已知，试求解由尸=AXX，有AXP=AX(AXX)=(AX)A-(AA)X=pA(AA)X故得X=PA-AA1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由(4,也,3)定出，求该点在：(1)直角坐标中的坐标;(2)球坐标中

6、的坐标。解(1)在直角坐标系中x=4cos(2r3)=-2y=4sin(23)=23z=3故该点的直角坐标为(-2,2J,3)。(2)在球坐标系中r=42+32=552sin(9d9=75/ss001.12在由尸=5、Z=O和z=4围成的圆柱形区域，对矢量A=e2+e2z验证散度定理。解在圆柱坐标系中V.A=-(rr2)+(2z)=3r+2rdrz425所以V.Adr=dzd(3r+2)rdr=1200-000又AdS=)(err2+ez2z)(er6Sr+edS+e,dS.)=ss425252x5d0dz+J24rdrd=12(0000故有VAdr=1200=AdSs1.13求(1)矢量4=

7、4/2+4/2,2+6_2412/223的散度；冲求QA对中心在原点的一个单位立方体的积分；14后此立方标表面的积分，验证散度定理。解M=普+等+四富力”+2/721/(2)VA对中心在原点的一个单位立方体的积分为1/21/21/2.V.Adr=(2x+2x2y+72x2y2z2)dxdydz=-1/2-1/2-1/224(3)故有1.14分。A对此立方体表面的积分1/21/2.1/21/21,AdS=(-)2dydz-(-)2dydz+S-1/2-1/22-1/2-1/221/21/221/2JJ2x2(-)2dxdz-JJ2x2()2dxdz+-1/2-1/22-1/2-1/221/21/

8、211/21/2.24x2y2(-)3dxdy-24x2(-)3dxdy=-12-122-12-12224v.Ad=-J24I计算矢量/对一个球心在原点、半径为。的球表面的积分，并求对球体积的积2r,=8sooA.dZ=8=VAdSCS求矢量4=e+ev到2沿圆周一+y2=/的线积分，再计算VxA对此圆面积的积AdZ=)xdx+xy2dV=Jcossin+tz4cos2sin2)d=-co4VAdS=1-1)dS=y2dS=r2sin2rddr=-ssvys001.17 证明：(1)7R=3;(2)NR=0;(3)V(AR)=A其中R=%x+e、.y+e;z,A为一常矢量。as,八、-&砂也_

9、解(1)NR=11=3xyzxyzyy(3)设A=exAx+eyAy+e.A.,则AK=Axx+Ayy+A.z,故(eV(AR)=e-(Axx+Ay+A,z)+e-(Axx+Ay+A.z)+oxye-F(Arx+Ayy+Az)=exAx+eyA+e:A:=Aoz1.18 一径向矢量场F=e,/(r)表示，如果？=()，那么函数/(r)会有什么特点呢？解在圆柱坐标系中，由V.F=-f(r)=Ordr可得到/(r)=-C为任意常数。在球坐标系中，由v.f=4-2W=rdr可得到/(r)=-广1.19 给定矢量函数E=ej+e”,试求从点(2,1,-1)到点(8,2,-1)的线积分E1:(1)沿抛物

10、线X=y2；(2)沿连接该两点的直线。这个E是保守场吗？解(1)Ed=fvdx+Evdy=dx+xdy=ccc22yd(2)+2/dy=6y2dy=141 1(2)连接点6(2,1,-1)到点(8,2,-1)直线方程为x2,%8y-y-2即x-6y+4=022故EH=JZdx+纥,dy=yd(6y-4)+(6y-4)dy=,2y-4)dy=14ccI1由此可见积分与路径无关，故是保守场。1.20求标量函数y=/冲的梯度及卢在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量345e1=+幺、=+e-V=定出；求(2,3,1)点的方向导数值。5050-50解V卢=4g(Yyz)+eg(Yyz)+e.-(x2yz)=xoyozex2xyz+evx2z+e,xy345故沿方向e,=ex-j=+e-f=e.-T=的方向导数为50