半角模型综合应用（能力提升）.docx

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1、专题06半角模型综合应用（能力提升）1.如图，点E、F分别在正方形A8C。的边CD,8C上，且NEA/=45,将AAOE绕点A顺时针旋转90得至JZABG,连接B。交Ar于点M,DE=2,BF=3,则GM=.【答案】25【解答】解：连接GE交A广于点O,/四边形ABCD是正方形，ZBAD=ZABF=ZADE=ZC=90o,AB=AD=BC=DC,AD/BCfV ZEAF=45o，二NBAF+NoAE=NBA。NEA尸=90-45=45,由旋转得：AE=AGfNAB广=NAOE=90，BG=DE=2,ZBAG=ZDAE,.NBAG+N8AF=45,ZGAF=ZE4F=450,V ZABF=ZAB

2、G=900,ZGBC=ZABG+ZABF=S0o,，点G、B、尸三点在同一条直线上，V BF=3,JFG=BG+BF=2+3=5,GAFEAF(SAS),：.FG=FE=5,设正方形ABCO的边长为X,CF=x-3,CE=X-2,在RIZXEb中，Fd+Ed=EF2,(x-3)2+(x-2)2=52,，x=6或X=-1(舍去)，/.正方形ABCD的边长R6,在RIAAB产中，AF=ab2+bf2=2+32=35,adbc,：.NDAM=ZMFB,ZADM=/MBF,：.AADMsAFBM,.他=幽=2,BFFM3_JAM=Za尸=2传3在RtADE中，=AD2+DE2=62+22=2*VAG=

3、AE,FG=FE,4尸是EG的垂直平分线，ZAOE=90o,VZEAF=45o,AE=2AO,.AO=2而，点M与点。重合，:EG=ZGM,在RtECG,EC=DC-DE=6-2=4,GC=BC+GB=6+2=8,EG=qc2+ec2=82+42=45G=25.故答案为：25.2.如图：已知正方形A8CQ,动点M、N分别在QC、BC,且满足NMN=45,ACMN的周长为2,则ACMN面积的最大值是.【解答】解：.四边形ABC。为正方形，ZB=ZD=90o，AB=ADfCD=CB;如图，将aABN绕点A沿逆时针方向旋转90得到AAOE,：.AE=AN,DE=BN,NDAE=NBAN；：.NMAE

4、=ZMAD+ZBAN,YNMAN=45,.ZMAD+ZBAN=90a-450=45o,/.NMAE=NMAN；在AMAE与AAMN中，AE=ANy为方程z?-(I-S)z+s=O的两个根，O,即1(1-5)J2-450,解得：、3+25(不合题意，舍去)，故答案为3-223 .旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，从而方便解决问题.己知，ZXA8C中，A=ACfNB4C=,点。、E在边BC上，且NDAE=a(1)如图a,当=60o时，将AEC绕点A顺时针旋转60oJAFB的位置，连结DF.(Dzdaf=；求证：df=de；(2)如图2当=90时，猜

5、想80、DE、CE的数量关系，并说明理由.【解答】(1)解：由旋转知，AF=AEtZBAF=ZCAEtNEA尸=60,YNOAE=1N8AC=60,2，NDAE=J1X600=30,2：.ZCAE+ZBAD=ZBAC-ZDAE=30o,ZDF=ZZF=ZBD+ZC4E=30o,故答案为：30：证明：由知，AF=AE,ZDAF=ZDAE=30o,:AB=AC,.t.DAFDAE(SAS),DF=DE;(2)解：DE2=BD2+CE2,理由如下：如图，将aAEC绕点A顺时针旋转90到AAFB的位置，连结。F,：.AF=AEfNEAF=90=ZBACfZBAF=ZCAE,.BAFCAE(SAS),：

6、.BF=CE,NABF=NACE,在RtZXABC中，NC=NABC=45,ZAfiF=45,ZZ)F=90,根据勾股定理得，DF2=BD2+BF2tDF2=D2+CE2,同(1)的方法得，QP=DE,de1=bd2+ce2.4 .己知NMBN=60,等边ABEF与NMBN顶点B重合,将等边48EF绕顶点B顺时针旋转，边E尸所在直线与NMBN的BN边相交于点C,并在BM边上截取AB=BC,连接AE.(1)将等边48砂旋转至如图所示位置时，求证：CE=BE+AE;(2)将等边七厂顺时针旋转至如图、图位置时，请分别直接写出AEfBE,CE之间的数量关系，不需要证明；(3)在(1)和(2)的条件下，

7、若BF=4,AE=It则CE=.【解答】(D证明：.Z8EF为等边三角形，；BE=EF=BF,NEBF=60,ZEBA+ZABF=60o,；/MBN=60,ZCBF+ZABF=6O0,NEBa=NCBF,在aABE与ACBF中，BE=BFNeba=Ncbf,AB=BC；.AABEWACBF(SAS)，.AE=CF,PCE=EF+CF,：.CE=BE+AE；(2)解：图结论为CE=BE-AE,图结论为CE=AE-BE,图的理由如下：5E广为等边三角形，ZBE=EF=BF,ZEBF=60,ZEfiA+ZABF=60,VZMBN=60o,ZCBF+ZF=60o，.EBA=NCBF,在aA8E与ACB

8、尸中，BE=BFNeba=Ncbf,AB=BCABECBF(SAS),.AE=CF,YCE=EF-CF,：.CE=BE-AE,图的利用如下：:BE/为等边三角形，：.BE=EF=BF,/EBF=W,ZEBA+ZABF=60o,VZMBN=GOo,ZCSF+ZAF=60o,；NEBA=NCBF,在aABE与aCB尸中，BE=BF-Neba=Ncbf,AB=BCABECBF(SAS),：.AE=CFi9JCE=CF-EF,.CE=AE-BE；(3)解：在(D条件下，CE=BE+AE=BF+AE=4+1=5;在(2)条件下,CE=BE-AE=BF-AE=4-1=3,综上所述，CE=3或5,故答案为：

9、3或5.5.己知，正方形ABCO中，NMAN=45,NMAN绕点A顺时针旋转，它的两边长分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N,AH上MN于点H.(1)如图，当NMAN点A旋转至IJBM=DN时，请你直接写出AH与A8的数量关系：;(2)如图，当NM4N绕点A旋转到3M力。N时，(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；(3)如图，己知NMAN=45,AH1MN于点H,且M”=2,NH=3,求AH的长.图图图【解答】解：(1)如图4=A8,四边形ABCo是正方形，：.AB=AD,NB=NO=90，AB=AD在与AAON中，NB=ND，BM=DN：,

10、XABMXADN,：.NBAM=NDAN,AM=AN,AHMN,：.ZMAH=1mAN=22.5o,2；NBAM+NDAN=45,ZBAA/=22.5,rZBAM=ZHAM在AABM与M中，NB=NAff1=90。，AM=AMJABMAHM,：.AB=AHx故答案为：AH=ABx(2)数量关系成立.如图，延长CB至使BE=QMABCO是正方形，：.AB=AD,D=4BE=90,rAB=AD在Rt和RtAano中，Nabe=Nadn,BE=DNRtAERtAND,J.AE=AN,NEAB=/NAD,NEAM=NNAM=45,AE=AN在aaem和aanm中，Neam=Nnam,AM=AM：XAE

11、M4ANM、JSdAEM=SoANM,EM=MN,；AB、A是AAEM和aAMVf对应边上的高，：,AB=AH,(3)如图分别沿AM、AN翻折和aANH,得到AABM和aAND,.BM=2,DN=3,NB=NO=/840=90,分别延长BM和DN交于点C,得正方形ABCD,由(2)可知，AH=AB=BC=CD=AD,设A=x,则MC=X-2,NC=X-3,在RtZMCN中，由勾股定理，得MN2=MC2+NC2,52=(x-2)2+(x-3)2,解得x=6,x2=1(不符合题意，舍去)AAH=6.图6.问题提出：如图1：在AABC中，BC=IO且NBAC=45,点O为AABC的外心，则AABC的

12、外接圆半径是.问题探究：如图2,正方形ABCO中，E、尸分别是边8C、CO两边上点且NEA尸=45,请问线段BE、DF、E/有怎样的数量关系？并说明理由.问题解决：如图3,四边形ABCO中，AB=AD=4,ZB=45o,NO=135,点E、尸分别是射线C8、C。上的动点，并且NEAF=NC=60,试问尸的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值.若不存在，请说明理由.图1图2图3【解答】解：（1）如图1,作出aABC的外接圆。O,V ZA=45,ZBOC=90o,V eC=10,OB=sin45oXBC=-X10=5V2,故答案为：52(2)EF=BE+DF,理由如下:如图2,延长E8,使BG=OF,连接AG,：.AB=AD,NABG=/0=90,在AABG和AAO尸中，,AB=ADNabg=Nd,BG=DFABGADF(SAS),：.AG=AF,NGAB=NDAF,VZEAF=45o,ZDAF+ZBAE=45o,ZGAE=45o,在AGAE和中，AG=AF=135ZBAD=120,TNEA尸=60,：.ZBAE+ZDAF=60,ZG4E=60o,GEME(SAS),ZC=60o，在aAEF中，VZE4F=60o,AH=4t户边上的高4K=4,画：尸的外接圆00,作OM_1E/于M,