半角模型综合应用（知识解读）.docx

《半角模型综合应用（知识解读）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《半角模型综合应用（知识解读）.docx（20页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、/7；E(2)如图，在aABC中，8zA7：AB=AC,ZBAC=90o,点DDE在BC上，点E在BC延长线上，且NDAE=45,则：BD+CE=DE.旋转法翻折法专题06半角模型综合应用(知识解读)【专观说明】角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和棚折目标三角形法。【方法技巧】类型一：等腰直角三角形角含半角模型(I)如图，在aABC中，AB=AC,NBAC=90,点D,E在BC上，且NDAE=45,则：BD+CE=DE.a二旋转法Xk翻折法/作法1：将aA

2、BD旋转90Z50/1C作法2,分别翻折aABD,(3)如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理.类型二：正方形中角含半角模型(1)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，ZEAF=45,连接EF,过点A作AGJ_于EF于点G,则：EF=BE+DF,AG=AD.(2)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边CB,DC的延长线上，NEAF=45,连接作法：ABE绕点A逆时针旋转90作辅助线：延长FC到G,使得CG=BE,连接DG结论：ADEFDGF;EF=BE+CF(3)如图，将正方形变成组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=A

3、D,ZBAD+ZC=180,点E,F分别在边BC,CD上，ZEAF=2ZBAD,连接EF,则：EF=BE+DE图示(3)作法：将aABE绕点A逆时针旋转NBAD的大小类型三：等边三角形中120含60的半角模型【典例今折】【类型一：等腰直角三角形角含半角模型】【典例1】如图，四边形ABCO中，NA=NBC0=90,BC=CDf若将aA5C绕着点C逆时针旋转90得(1)求证：NAoC+NC。石=180；(2)若A8=3cm,AC=42C求AQ的长；(3)在(2)的条件下，求四边形ABC。的周长和面积.【变式1-1如图，RtZA8C中，ZfiC=90o,AB=AC.D、E为BC边上两点，NDAE=4

4、5,过A点作A尸_1AE,KAF=AEf连接。尸、BF.下歹J结论：ABFACE,AO平分NEIF;若BD=4fCE=3,则AB=62:若AB=BE,其中正确的个数有（）C. 3个D. 4个【变式1-2如图，等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90a,AB=AC,点M,N在边BC.若BM=1,CN=3,则MN的长为.【类型二，正方形中角含半角模型】【典例2】（2023春西山区校级月考）如图，已知正方形A8C。，点七、尸分别是A8、BC边上，且NEo产=45,将加：绕点）逆时针旋转90,得到AOCM.（1）求证：aedfwamdf；（2）若正方形ABC。的边长为5,AE=2时，求E尸的长？【变式2

5、-1（2023春路北区期末）如图，在边长为6的正方形ABC。内作NEA尸=45,AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接E尸，将AAQ/绕点A顺时针旋转90得到ABG.（1）求证：GE=FEi【变式22】（2023秋山西期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：从正方形的一个顶点引出夹角为45的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型.半角模型可证出多个几何结论，例如：如图1,在正方形ABC。中，以A为顶点的NEA尸=45,AE.A尸与BC、Co边分别交于E、F两点.易证得M=BE+产ZX大致证明思路：如图2,将aAOF绕点A顺时针旋转90,得至IJZXA

6、8H,由NBE=180可得”、B、七三点共线，ZHAE=ZEAF=45o,进而可证明aAEHgZXAEE故E/=BE+DF.任务:【典例3已知正方形ABCO中，NMAN=45,别交C8,DC（或它们的延长线）于点M,N,（1）如图，当NMAN绕点A旋转到BW=Z）N时，请你直接写出AH与A8的数量关系：(2)如图,当NMAN绕点A旋转到BMWDN时,（1）中发现的4”与AB的数量关图1图2图3如图3,在四边形ABCO中，AB=AD,NB=/0=90,NBA。=120,以A为顶点的NEAr=60,AE.AF与BC、Co边分别交于E、F两点.请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论EF=BEDF是否

7、依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.NMAN绕点A顺时针旋转，它的两边分AH_1MN于点H.系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明;(3)如图，已知NMAN=45,4”_1MN于点”，且M7=2,A”=6,求NH的长.(可利用(2)得到的结论)【变式3-1】探究：(1)如图1,在正方形ABCO中，E、尸分别是BC、Co上的点，且NEA/=45,试判断。尸与E尸三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；(2)如图2,若把(1)问中的条件变为“在四边形48CO中，A8=AD,ZB+ZD=180,E、产分别是边8C、C。上的点，且NEA尸=J1NBAZr,则(1)问中

8、的结论是否仍然2成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；(3)在(2)问中，若将?1：尸绕点A逆时针旋转，当点分别E、产运动到BC、。延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则(1)问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明.【变式3-2】己知：如图边长为2的正方形ABCQ中，/M4N的两边分别交8C、CO边于M、N两点，且NMAN=45求证：MN=8M+OM若4例、AN交对角线8。于七、尸两点.设8F=y,DE=X,求y与X的函数关系式.【类型三：等边三角形中120。含60的半角模型】【典例4已知在AABC中，AB=AC,。，E是BC边上的点，将ZABD绕点A旋转,得到AAC

9、ZA连接。.(I)如图1,当NBAC=I20,ZDAE=60时，求证：DE=DE；(II)如图2,当。E=O之时，请写出NDAE与N84C的数量关系，并说明理由.(III)当N8AC=90,DE=DE,EC=CD时，请直接写出8。与。E的数量关系(不必说明理由).图1图2【变式4-1(2017秋锦江区期末)在aABC中，AB=AC,点户是边BC所在直线上与点8,C不重合的两点.(1) 系；(2) 度；时，直接写出线段BE,CF,石F的数量关并证明.(3)如图3,当NBAC=90,ZEAF=135图1如图1,当NBAC=90,NEA尸=45(不必证明)如图2,当NBAC=60，NEAF=30时，

10、己知3E=3,CF=5f求线段EF的长时，请探究线段CE,8F,EF的数量关系,【变式4-2等边4ABC。为AABC外一点，ZBDC=120o,BD=DC,NMON=60,射线DM与直线AB相交于点M,射线ON与直线Ae相交于点M当点M、N在边A8、AC上，且。M=ON时，直接写出8M、NC、MN之间的数量关系.当点M、N在边A8、AC上，且。MWfW时，猜想中的结论还成立吗？若成立，请证明.当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并写出BM、NC.MN之间的数量关系.专题06半角模型(知识解读)【专畋说阚】角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三

11、角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。【方法技巧】类型一：等腰直角三角形角含半角模型/(1)如图，在aABC中，AB=AC,ZBAC=90o,点D,E在45作法1：将Aabd旋转90作法2：分别翻折Aabd,ACE（2）如图，在aABC中，AB=AC,ZBAC=90o,点DBC,且NDAE=45，则：BD+CE=DE.旋转翻折法在BC上,点E在BC延长线上,且ZDAE=45,则：BD+CE=DE.旋转法翻折法（3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理.任意等腰三角形ZEAF=45

12、,连接EF,过点类型二：正方形中角含半角模型（I）如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD,A作AGJ_于EF于点G,则：EF=BE+DF,AG=AD.图示（1）作法：将Aabe绕点A逆时针旋转90（2）如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边CB,De的延长线上，NEAF=45,连接作法：将Aabe绕点A逆时针旋转90(3)如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=A_D,NBAD+NC=180。，点E,F分别在边BC,CD上，ZEAF=2ZBAD,连接EF,则：EF=BE+DF.图示(3)作法：将aABE绕点A逆时针旋转NBAD的大小类型三：

13、等边三角形中120含60的半角模型作辅助线：延长FC到G,使得CG=BE,连接DG结论：DEF0DGF:EF=BE+CF【典例合折】【类型一：等腰直角三角形角含半角模型】【典例1】如图，四边形ABC。中，NA=NBeo=90,BC=CD,若将aABC绕着点C逆时针旋转90得AEDC.(1)求证：ZADC+ZCDE=180；(2) AB=3cm,AC=42Cm求A。的长；(3)在(2)的条件下，求四边形ABC。的周长和面积.【解答】（1）证明：如图，在四边形ABC。中，NA=NBC0=90,则N8+NAfC=180.Y将AABC绕着点C逆时针旋转90得AEDC,，ABCEDCf；/CDE=/CB

14、A,ZADC+ZCDE=180；(2)解：:将aABC绕着点C逆时针旋转90得AEDC,：.AC=EC=42cAB=ED=3cm,NACE=90,*AE=QtAC=Scitif,t.AD=AE-EC=AE-AB=5cm;(3)解：如图，连接班由(2)知，AD=5cm.则在直角中，由勾股定理得到：=AB2+AD2=34MBC=CD,NBeo=90,IBC=CD=2，四边形ABCD的周长为：AB+AD+2BC=3+5+217=8+217;9：ABCEDC,【变式1-1如图，RtAABC中，ZfiC=90o,AB=AC,D、E为BC边上两点，NDAE=45,过A点作A尸_1AE,KAF=AE,连接。尸、BF.下和J结论：ABFACE,AO平分NEo尸；若8。=4,CE=3,则AB=62;若AB=BE,Sa8Z=s2kADE【解答】解：.AA1AE,ZME=90o,VZBC=90o,：.ZFAE-ZBAE=ZBAC-NBAE,：.ZFAB=ZEAC,：AB=AC,AF=AEfAFACE(SAS),故正确；VZDA