不定积分典型例题.docx

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1、不定积分典型例题一、直接积分法直接积分法是利用基本积分公式和不定积分性质求不定积分的方法，解题时往往需对被积函数进行简单恒等变形，使之逐项能用基本积分公式.例1、求JJ)%(1-x2xdx解原式二(x-X)dx=4+44+C447例2、求j3x+dxe+1_X平原式=2-+J(2-exx+1)dx=2-e+1)dx例3、求J1dxsinxcosx22F原式=sin2+co2J1J-dx=dx-Csinxcosxcosx222例4、JCOS:dx22解原式二J1+s工=x+s叫C22I2x例5、JJ1+x2r21-1f1)dx=X-解原式二JJCdx=(1-1+X21+X2J1-dx=tanX-

2、cotX+sinx2arctanX+-4-一3571注：本题所用“加1减1”方法是求积分时常用的恒等变形技巧.二、第一类换元积分法（凑微分法）1.f(x)dx=Jg(x),(x)dx,g(u)du秘G(U)+招G(x)+CC澳成令aX)=U在上述过程中，关键的一步是从被积函数f(X)中选取适当的部分作为,(x),与dx一起凑成4)(x)的微分d()=du且Jg(u)du易求.例1、求dxcossinX解原式二dx=-dcosX3=-(cosx)2dcosx=CdX=JCOSXarcsinXX2COSXOSXCOSXCOSX例2、求dxT解原式=JarCSin1dx-1&x)1-x3CSI1-(

3、)2TJ=2arcsinxd(arcsinx)=(arcsinx)2+C注2d(x)41xd9-4221fd(3x)11212J+9-4x2=arcsinx+9-42+C242341-()23例4、求Jtan,11+X2解原式=Jtan+1+2=-In|cos.1+x21例5、求解原式=J(+J2-1)dx=-1dxXdx+XXX-(2-1)2X31=X3例6、求解原式=1dx1+tanxfCOSXdx=sinx+cosxXJ+P-(x2-1)2+C3(1cosx-sinX)dxcosX+sinX1(x+In|cosX+sinX|)2cosx+sinx(ees-+stn)2例7、求1-X2解原

4、式=1C1+xIndx1-x1+x1+xIn例8、求J21e+11-xdxd(1n)=In21-x41-x解原式:1+ex-edx=xex+1dxjx-1n(1+e)+dx-J1d(1+e)=1+eCX例9、求J_1_aXe+e-X解原式=JjdX_J1Ce)=arCtaneX+e+11+(e)2xx2例10、求ISinaXX-1+sinX解原式J(I-丁f、)dx=Jdx-fiH-sinXcosX2=Xsindx+dx=x-tanx+secx+CJXCOSX-COSX22例11、求JxX2-31n解原式3nx)d(Inx)2|j(2-3x)1(-1)d(2-31nx)=-.1(2-31nx)

5、2G-33-1+12=-2-31ne*-3 C例12、求J1udx-i2X+b2S2X解原式=1d(tanX)1f1a“b2+a2tan2=!Jd(tanx)abab1+(tanx)2b1aarctan(tanx)+Cabb例13、求Jx4+1dxx+1解原式4端平+3”1dx+1-1edx-arctanX+arctanx+C31j?31+(x)232例14、求-dxx(1+X)1+x8-Xe解原式=X7dxdx1=Inx-1n(1+x)+C8x(1+x)dx1+x例15、求3x-2d2-4x+531解原式=d(2-4x+5)+4X-4x+52dxX-4x+523n2-4x+52+13In|2

6、-4x+54arctan(x-2)+2C注由于分干比分母低一次，故可先将分子凑成分母的导数,把积分化为形1dx的积分（将分母配方，再凑微分）.ax+bx+c2例16、已知f(x-1)=1nx2，且fM(x)=InX,求J(x)dx.2X-22解因为f(x-I)=InX2-1+1,故f()=nX+1,又因为2X-1-1x-12,r.zVI(x)+1(x)+1x+1门f(x)=1nJInX,得二x,解出(x)二”从而(x)-1(x)-1x-1t(x)dx=211,f,dx=J(1+)dx=x+21nx-11+CXTx-1例17、求!IdXC0S4X1解原式二JSeC2xdtanX=J(I+tan2

7、x)dtanx=tanx+ta3x+C3例18、求J1+1nxdx2+(x1nx)11解原式二2：，；)=12arctan(x1nj)+C三、第二类换元法设X=(I)单调可导，且。*0,已知Jf(t)dt=F+C,则Jf令(t)Jf(t)(tjt=F(t)+t=-而还原F()(x)dxCT(X)+C选取代换x=(t)咆去键是使无理式的积分化为有理式的积分(消去根号),同时使Jf4O(t)dt于计算.例1、求xdx(X2+I)I-X2解令X=sint,dx=costdt原式二,6fnt(iqstdt(sint+1)cost2-cost22dco)dcost222-cost2+cost222-co

8、st222+1-x2+2-1-x例2、求Jx41+X2解令X=tant,d=sec2tdtsec2tdtc0s3tdt1-si2t原式=J=Jdsint=J(sin-4t-sin-2t)dsinttantsectsintsint4V411r-4-c(1+x2)3(I+X2)=c4+C=-+3sintsint3xx33x2-9dx2原式二3tant3secttantdt=dt=J(sect-cost)dt解令x=3sect,贝Jdx=3secEatdt9sect=Insect+tant-sint+C1=Inx+x-a22X2-a2+Cx例4、求Xdx1x(72)；dt,12原式=J(二)dt=-

9、J一1t6出=11+2tt27+2t711=-1n1+2t7+c=-In121414注设m,n分编为被积函数的分子，可用倒代换求积分.例5、求JX+1dxX2X2-11I解令x.dx=t7y21rsf+1-1厂1*原式=JVt-)dt=Jt(一11/1-ttbt2t2X)一=-arcint+1-t2+C=X例6、求JXdX3X2-4X_w=t6-12tdt=12J1f解原式二11d=12tdtt-183=12t10-1+12fJ4出=(t5+1+C11-d(1+2t)7141+2t71+X71+In|2分母关于X的最高次数，当n-m1时，11-11d(1-t2)出=一)出+J1-t21-t22

10、21 1-arcsin+CX.t10t4dttudt=12jt-1t-155121212)dt5=t10+t5+Int5-1t-155t-11055561212555=X+X12+Ini2-1+C555例7、求4+exex=t2-1,dx=1dtt-12+CInX例8、求X1+1nx+C=It+1解令t=1+1nx原式二JInJt-1d1n-xJ-1+Snxt)dt=1t-2t2+C=(Inx-2)1+1nx+C2例9、求x+1-1,出解x+1=t,x=t2-1,dx=2tdt因为原式二x+2-2x+1Xdx=x+2J-2x+12t2dtdx=2J(1+t-122t+Intf1Ct+1)出t-12_C/,X+1-1+C=2x+1+Inx+1+1原式=x+21nIx-4x+1-2+1+C=x-4x+1+C四、分部积分法分部积分公式为Iuv,dx=uv-I1vdx使用该公式的关键在于u,v,的选取，可参见本节答疑解惑4.例1、求3edxxexx+-33dex=362dex=X3ex-3x2=X3x-32x+6xex-6ex+C例2、求JX2-C0S2Xdx21解原式二_i.X(1+cosx)dx=X1Xcosxdx-2xsinxdx+