第7讲 导数中的5种同构函数问题 解析版.docx

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1、导数中的5种同构函数问题【考点分析】考点一：常见的同构函数图像八大同构函数分别是：y=xex,y=-iy=-,y=x1nx,j=-,y=,y=ex-x-1,eXInxXy=x-InxT我们通过基本的求导来看看这六大同构函数的图像，再分析单调区间及极值，以及它们之间考点二：常见同构方法(1)xex=enx9x+nx=n(xex(2)=ex1nxx-nx=n-XX(3)x2ev=ex+2,nr;x+21nx=1n(x2e)(4)4=*?叫马入旧山【题型目录】题型一：利用同构解决不等式问题题型二：利用同构求函数最值题型三：利用同构解决函数的零点问题题型四：利用同构解决不等式恒成立问题题型五：利用同构

2、证明不等式【典例例题】题型一：利用同构解决不等式问题例1(2023河南模拟预测(理)不等式21nxx1n2的解集是()A.(1,2)B.(2,4)C.(2,+)D,(4,+)【答案】B【解析】【分析】结合不等式特点，构造函数，研究其单调性，从而求出解集.【详解】设/(X)=则/(H二号X，当0xO;当xe时,/()(2),结合/(2)=/(4),可得2x4,所以原不等式的解集为x2x1,h,则下列关系式不可能成立的是()A.efrInaabB.efrInaabC.aehbnaD.aehbna【答案】D【解析】【分析】构造函数/(x)=AInMX0),利用导数判断其单调性可判断AB；构造函数g(

3、x)=，(x)=-,利用导数判断单调性可判断CD.X4【详解】对于efe1na0),(x)=1-1=1,当x1时，gx)O,/(x)是单调递增函数，当0x1时，/x)0,/(x)是单调递减函数，若1b1n,则b-1nb1n-In(1n),即e1na必，故A正确；若11时，gO,g(x)单调递增，所以g()g=e,/(x)=1詈，当xe时，Z(x)O,MX)单调递减，当0xe时，MX)1时g(x)MX),BP-,ba所以e56n成立，讹加n不可能成立，故C正确D错误.故选：D.【点睛】思路点睛：双变量的不等式的大小比较，应该根据不等式的特征合理构建函数，并利用导数判断函数的单调性，从而判断不等式

4、成立与否.【例3】(2023陕西长安一中高二期末(理)已知OVXVyV，且esinx=esi”,其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是().TC_TC_XX.A.yB.x+y0D.sinxsny【答案】C【解析】【分析】通过构造函数，利用函数的单调性以及式子的结构特征进行分析.【详解】ix1mv.X.UUzSinXsiny因为esnx=esmy,所以=,eey令耳=邛，所以g()=g(y),对函数g(f)=斗，ft(0z)求导：ee、ezcos/-ezsin/COSr-Sinr.,z.小；Tg)=；，由短(。有：(0,-),(e)e4由/Vo有：飞小幻，所以以=邛在(0,)单调递增，

5、在(f)4e44单调递减，因为0xvy乃，由g(x)=g(y)有：O%fyr,故A错误；因为OVXVye由生用=上有：sinysinx,故D错误；因为0x(y0,18SyI=J1-siny因为Sinysin%所以COSXcosy|,所以8sx+8sy0,故C正确；JrJTCOSt-sin/Sin/COS/令)=g(D-g(T)有：h,(t)=gt)-g,(-t)=；+TJ-22ee2二(sincos)(eF),当。，0成立.所以W)=g(f)-g(g)工2e2在(0,外单调递增，当0vx?时，=g(x)-gf7)0,即g()g(g-X),又g()=g(y),所以g()=g(y)g(j-),因为

6、Oxfyp故B错误.故选：C.【例4】(2023江苏苏州模拟预测)若X,y(0,+),x+1nx=ev+siny,则()A.1n(x-y)OC.Sin)，可得HInx0,贝IJr(X)=I-COSXO(不恒为零)，故/(力在(O,M)上为增函数，故/(r)f(O)=O,所以XsinX,故ysin)，在(O,+)上恒成立,所以x+InXVe+y=ey+Iney,但g(x)=x+1nx为(0,+oo)上为增函数，故e即加x5e+21+e-Siny,矛盾，故yve+1即.y-xv1,此时1n(y-x)O,故B错误.5X.v=1,考虑x+1nx=e+sin1,若x2,则x+1nx2+1n22,此时x-

7、y1,此时In(X-刃0,故A错误，故选：C.【点睛】思路点睛：多元方程隐含的不等式关系，往往需要把方程放缩为不等式，再根据函数的单调性来判断，注意利用同构来构建新函数.【例5】(2023四川成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测(理)已知。、beRia2ea+na=O1/n(力+Inb-3)=1,贝Ij()A.abeabB.abea=bC.beaabD.ea=b0,aaa构造函数/U)=*,其中xO,则r(x)=(x+1)e0,所以，函数/(x)在(0,y)上单调递增，由流“=1n1=/!可得。)=了!口，aaaIaJ所以，a=-nay由q0可得InaV0,则OO,Ib)bb构造函数g(x)

8、=x+e*,其中x0,则/(x)=1+e*O,所以，函数g()在(0,田)上单调递增，由+1n=，+,即1也+叫+/,可得g(1nb)=g,所以，Inb=bbb)b由Inb=0可得01,且g=Tng,则：+1n：=O,bbbbb令力(X)=X+1nx,其中人0,则“(x)=1+JO,所以，函数(X)在(0,+8)上为增函数，由可得Ma)=|=0,所以，a=1,可得必=1,由+In=Inea+In=In(e)=0可得e=1,则e=，=，因为OVae1,贝IJa/?=1bO,且满足MnO=ZHna,e为自然对数的底数，则()A.beeaehB./ez,eaC.ehet,bcD.ebco),利用导函

9、数研究函数的单调性判断即可.【详解】解：因为y=e在R上单调增，abO1所以ee3故A、D错误；构造函数/(力=W，(xo),贝IJr(X)=上詈=0,x=e,当x(0,e)时,(x)0,7%)单调增,当xe(e,+)时，f(x)bO,ab所以0vbe,1n0,anb=hnaOi所以1be4,PU1,e1nZ?/?1ne,InbcInefr,即0hcB.bacC.cabD.cba【答案】A【解析】【分析】1n2023由于曾=,所以构造函数/U)=坐(N),利用导数判断其为减函数，从而可比较出1nZmzu2i+v/2023/(2023)(2023)0,进而可比较出。力的大小，同理可比较出Ac的大

10、小，即可得答案【详解】M2023Ina20231n2023?n?iIJtr-Tr加“/、八、_x+1-XhU,前=丽丽T圜,构造函数二1卜)，小)一诉广2023令g(x)=x+I*则/(X)=-InX0,g(x)在/,y)上单减，.g()g()=r2o,故r()(2023)0,.Ina=f(2023):1InZ?/(2023)In1n?.ab,同理可得1nb1nc,bc,故”c,故选：A3. (2023广东中山市迪茵公学高二阶段练习)已知bO,下列不等式，成立的一个是()A.ai-ba-bB.na-nba-bC.sina-sinba-bD,ea-efta-b【答案】D【解析】【分析】在0时，itSf(x)=x3-x,g(x)=InX-x,h(x)=sinx-x,(x)=er-x,探讨它们的单调性即可分别判断选项AB,C,D作答.【详解】Ba3-bya-ba3-ab3-b1贝IJ令f(x)=x3-x,x0,f,(x)=3x2-1,显然函数f()在(0,孝)上递减，在(*,+)上递增，即函数/O)在(0,M)上不单调，而4b