专题40 几何最值之隐形圆问题热点专题（含答案解析）.docx

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1、专题40几何最值之隐形圆问题【热点专题】-【中考高分导航】备战2023年中考数学考点总复习(全国通用)专题40几何最值之隐形圆问题，方法技巧1模型一：定点定长作圆模型探究：如图，在平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则动点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆.【推广】在折叠或旋转问题中，有时会利用“定点定长作圆模型确定动点的运动轨迹.模型二：定弦定角作圆模型探究：若已知定弦AB,定角NC,要确定顶点C的运动轨迹，需分三种情况:图图图题(1)如图,在。O中，当NCV9O。时,点C的轨迹为优弧ACB；(2)如图，在。O中，当NC=90。时，点C的轨迹为半圆;(3)如图，在。O中，当

2、NC90。时,点C的运动轨迹为劣弧AB.常见张角计算(关键定圆心)：模型三：四点共圆(1)如图、，共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都有A、B、C、D四点共圆.(2)如图若A+NC=180，则A、B、C、D四点共圆.如图固定线段AB同侧若NP=NC,则A、B、C、P四点共圆.卜I题型精通1 .如图，P是矩形ABCo内一点，AB=4,AD=2,APj_4尸，则当线段。P最短时,CP=2 .如图，已知O的半径为机，点C为直径A5延长线上一点，BC=m.过点C任作一直线/,若/上总存在点尸，使过P所作的Oo的两切线互相垂直，则ZACP的最大值等于一3 .如图，ABC是。的内接三角形，且AB是。O的

3、直径，点P为。上的动点，且N8PC=60,。的半径为6,则点P到AC距离的最大值是一.4 .如图，在中，NAC8=90。，AC=BCtAB=4cm,Co是中线，点、户同时试卷第2页，共5页从点。出发，以相同的速度分别沿。C、方向移动，当点E到达点。时，运动停止，直线AE分别与CA5C相交于G、H,则在点户移动过程中，点G移动路线的长度为（）A.2B.C.2D.二一兀2媪丽T15 .如图，等边48C的边长为2,C）A的半径为1,。是BC上的动点，OE与。A相切于EOE的最小值是（）A.IB.2C.3D.26 .如图，在RABC中，ZACB=R叱,AC=8cm,BC=3cm.。是BC边上的一个动点

4、，连接A。，过点。作CEJ_4）于E,连接8E,在点Z）变化的过程中，线段的的A.1B.3C.2D.57 .如图，在OO中，弦AB=1点C在48上移动，连接0C,过点C作C）_1OC交于点。，则8的最大值为.8 .如图点A是半圆上一个三等分点(靠近点N这一侧)，点B是弧AN的中点，点户是直径MN上的一个动点，若。半径为3,则AP+3P的最小值为.9 .如图，在RA8C中，NC=90,AC=6,BC=8,点F在边AC上，并且CF=2,点E为边BC上的动点,将AC所沿直线叱翻折，点C落在点尸处，则点尸到边AB距离的最小值是.10 .已知点A是圆心为坐标原点。且半径为3的圆上的动点，经过点8(4,0

5、)作直线11X轴，点P是直线/上的动点，若/。%=45。，则43OP的面积的最大值为.11 .如图，A8是O。的直径，点。、D是OO上的点，且OOBC,AC分别与30、。相交于点E、F.(1)求证：点。为AC的中点；若CB=6,AB=IO,求。尸的长；(3)若0。的半径为2,Nm4=80。，点P是线段A8上任意一点，试求出尸C+尸。的最小值.12 .如图，已知点A(-1,0),B(3,0),C(0,I)在抛物线y=ax2+bx+c上.(1)求抛物线解析式；(2)在直线BC上方的抛物线上求一点P,使APBC面积为1；(3)在X轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q,使NBQC=NBAC?若存在

6、,求出Q点坐标；若不存在，说明理由.参考答案:1. 23【分析】因为AP_1BP,则P点在AB为直径的半圆上，当P点为AB的中点E与D点连线与半圆AB的交点时，DP最短，求出此时PC的长度便可.【详解】解：以AB为直径作半圆0,连接0D,与半圆0交于点P,当点P与P重合时,DP最短，A.0JDEC贝IJAO=OP,=OB=yAB=2,VAD=2,ZBAD=90o,OD=22ZADC=ZAOD=ZODC=45o,DP,=OD-OP,=22-2,过P作P，EJXD于点E,则P,E=DE=DP,=2-2,CE=CD-DE=2+2,；CP-yPE2+CE2=23.故答案为21【点睛】本题是一个矩形的综

7、合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，圆的性质，关键是作辅助圆和构造直角三角形.2. 45【分析】根据切线的性质和已知条件先证得四边形PMoN是正方形，从而求得O尸=，以O为圆心，以长为半径作大圆。0,然后过C点作大。的切线，切点即为P点，此时/4CP有最大值，作出图形，根据切线的性质得出OP_1PC,根据勾股定理求得PC的长，从而证得OPC是等腰直角三角形，即可证得NACP的最大值为45。.【详解】PM、PN是过尸所作的。的两切线且互相垂直，.NMON=900,.四边形尸MQV是正方形,根据勾股定理求得OP=，.P点在以。为圆心，以长为半径作大圆O上，以。为圆心，以长为半径作大圆O,然后过C

8、点作大。的切线，切点即为尸点，此时ZACP有最大值，如图所示,.PC是大圆Q的切线，OP1PC,OC=2m,OP=&n，.PC=OC2-OP2=2m，.OP=PCtZACP=45o,.NAC尸的最大值等于45。，故答案为45。.【点睛】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理的应用，解题的关键是求得P点的位置.3. 6+33.【分析】过O作OM_1AC于M,延长MO交。O于P,则此时，点P到AC距离的最大,且点P到AC距离的最大值=PM,解直角三角形即可得到结论.【详解】过。作OMj1AC于延长M。交。于P,则此时，点尸到AC距离的最大，且点P到AC距离的最大值=尸M,VOM-1AC

9、fNA=NBPC=60,。的半径为6,.OP=OA=6,：.OM-OA=6=3y3，22JPM=OP+OM=6+3J,则点尸到AC距离的最大值是6+33,故答案为6+35/3.【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键.4. D【详解】解:如图,* ：CA=CB,NAeB=900,AD=DBf：,CDA.AB,：,ZADE=NCDF=90。,CD=AD=DB,在从。上和4CoF中，AD=CD* NADE=NCDF,DE=DFADECDF(SAS),：NDAE=/DCF，* ：NAED=Z.CEG,：.NA。E=NCGE=90。，A、。、G、。

10、四点共圆，；点G的运动轨迹为弧C。，VA=4,AB=gAC,AC=22，oa=oc=1* ：DA=DC,OA=OCf：.D0AC,，NOOC=90。，；点、G的运动轨迹的长为9C=正.1802故选：D.5. B【分析】连接AE,AO,作月H_1BC于，因为OE与。4相切于M所以AE_1QE,可得DE=Jad2-AE2=yAD2-，当。与重合时，4。最小，此时。E最小，求出A”的长,即可得出OE的最小值.【详解】解：如图，连接AEAO,作AJ_8C于，：.AE1DEtG)A的半径为1,*DE=JAD2-AE2=AD2-1，当。与重合时，AO最小，Y等边AABC的边长为2,；.BH=CH=I,.*

11、.AH=y22-I2=百，JOE的最小值为：7(3)2-12=2.故选：B.【点睛】本题考查圆的切线的性质，勾股定理，等边三角形的性质，解题的关键是掌握圆的切线的性质.6. A【分析】由NAEC=90。知，点E在以AC为直径的G）M的CN上（不含点G可含点N）,从而得最短时，即为连接8与。M的交点（图中点E点）,8E长度的最小值8=8M-M.【详解】如图，由题意知，NAEC=90。，.E在以AC为直径的OM的CN上（不含点C、可含点N）,.8E最短时，即为连接BW与CM的交点（图中点S点），在RtBCM中，BC=3cm,CM=AC=4cm,则BM=yBC2+CM2=5cn.MEMC=4cm,.

12、BE长度的最小值3E=BW-=ICm,故选：A.【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的三边关系等知识点，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法.7. ；#0.5【分析】连接。如图，利用勾股定理得到CQ,利用垂线段最短得到当OC1AB时，OC最小，再求出即可.【详解】解：连接。，如图，*：CDA-OC,：.NoCO=90。，JCD=yOD2-OC2=r2-OC2当OC的值最小时，CO的值最大，而0C_1A5时，OC最小，此时。、B两点重合，：CD=CB=yAB=1=y,即Co的最大值为故答案为：y.【点睛】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，能求出符合题意的点C的位置是解

13、此题的关键.83人【分析】作A关于MN的对称点C,连接CB,与MN的交点即为点P.此时PA+PB=CB是最小值，可证AOCB是等腰直角三角形，从而得出结果.作点A关于MN的对称点C,连接CB,交MN于点P,则PA+PB最小,连接0C,AC.Y点A与C关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，ZCON=ZAON=60o,PA=PC,ZBON=30o,/.ZCOB=ZCON+ZBON=90o,又。OA=OC=3,*CB=32-/.PA+PB=PC+PB=CB=3五.故答案是：3夜.【点睛】本题考查轴对称-最短路径问题，正确确定P点的位置是解题的关键.9. 1.2【分析】过点尸作尸GJ_A8,垂足为

14、G,过点P作垂足为,根据垂线段最短,得当P。与FG重合时夕。最小，利用相似求解即可.【详解】VZC=90AC=6,BC=StAfi=10,.B=2,将ACEF沿直线放翻折，点C落在点尸处，：,CF=PF=2,AF=AC-CF=6-2=4,过点尸作rGJ_A&垂足为G,过点P作PoJ_A8,垂足为。,根据垂线段最短，得当P。与产G重合时P。最小，VZA=ZA,ZAGF=ZACSf：.AAGFSAACB,.AFGF=,ABCB.4GF=,108FG=3.2,PD=FG-PF=3.2-2=.2t故答案为：1.2.【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，三角形相似，垂线段最短，准确找到最短位置，并利用相似求解是解题的关键.10. 2?【分析】当以是。的切线时，OP最长，则PB最长，故ABOP的面积的最大，连接0A,根据切线的性质和已知条件得出。必是等腰直角三角形，利用勾股定理确定。P,进而求得PH,根据三角形面积公式即可求得.【详解】当必是。的切线时，OP最长，则PB最长，故ABOP的面积的最大，连接。4,