专题29 锐角三角函数与运用考点精讲（含答案解析）.docx

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1、专题29锐角三角函数与运用【考点精讲】-【中考高分导航】备战2023年中考数学考点总复习（全国通用）专题29锐角三角函数与运用.知识导航可知识精讲锐角三角函数与运用考点1：锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值1 .锐角三角函数的概念（1）锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做/A的锐角三角函数.（2）在2ABC中,ZC=90o,a乙瞰对边八54乙的勺邻边/Am*对边NA的正弦SmA=FrNA的余弦COSA=方丁,NA的正切tanA=的邻边.2 .特殊角的三角函数值（填写下表）三角函数30o45060osina2在22cosa2正2_!_2tana3313（2023湖南）1 .下列计算正确的是（

2、）A.U-3）0=1B.tan30=-C.4=2D.a2-ai=a22.如图，Oo是.ABC的外接圆，CO是O。的直径.若CQ=IO,弦AC=6,则COSZABC的值为（）Y针对训练（2023天津）3.tan30。的值等于（2（2023浙江）4 .如图，已知在RtABC中，ZAC8=90。,AC=I,A8=2,则sin3的值是考点2：三角函数与图形结合5 .如图，点A、8、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（）C.tanB=2D.sin2B+sin2C=1y针对训练（2023聊城）6 .如图，在4x5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,JABC的顶点都在这些小正方形的顶点上

3、，那么sinC8的值为（）.CA.!B.也C.2D.2J222考点3：解直角三角形1.解直角三角形（1）解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.（2）直角三角形的解法直角三角形的解法按除直角外已知2个元素的不同情况可大致分为四种类型：已知一条直角边和一个锐角（如a,ZA）,其解法为:NB=9（TNA,C=/=;sinA已知斜边和一个锐角（如c,ZA）,其解法为:NB=9（）O-NA,a=csinA;已知两直角边（如a,b）,其解法为:c2=a2+b2,tanA二：；己知斜边和一直角

4、边（如aa）,其解法为:b2=c2-a2,sinA=q.c（2023浙江金华市）8 .如图是一架人字梯，已知AB=AC=2米，Ae与地面3C的夹角为则两梯脚之间的距离BC为（）（2023四川乐山市）C.4tana米D.-米COSQT9 .在RJABC中，ZC=90o.有一个锐角为60。，A=4.若点P在直线48上（不与点A、8重合），且NPC8=30。，则C/的长为.y针对训练（2023云南）10 .在SABC中，ZABC=90,若AC=Ioo,sinA=,则AB的长是（）A.迎B.迎C.60D.8035（2023浙江温州市）H.图I是第七届国际数学教育大会UCME）的会徽，在其主体图案中选择

5、两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC.若AB=BC=1AOB=a,则OC?的值为（）D.cos2a+112.如图，点C是以点。为圆心，AB为直径的半圆上一点，连接4GBC,OC.若考点4：解直角三角形1.与解直角三角形有关的名词、术语（1）视角:视线与水平线的夹角叫做视角.从下向上看，叫做仰角；从上往下看，叫做俯角.（2）方位角:目标方向线与正北方向线顺时针时的夹角.（3）坡度、坡角:坡面的垂直高度（h）和水平长度（1）的比叫做坡度（或坡比），记作坡I面与水平面的夹角（）,叫做坡角.13.如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古

6、塔底部点8处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点。处，在点。处测得塔顶A的仰角为30。,已知斜坡的斜面坡度i=k3,A.（103+20）mB.（3+1）mC.203mD.40m14.小明和小华约定一同去公园游玩,公园有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小明自公园北门A处出发，沿南偏东30。方向前往游乐场及处；小华自南门8处出发,沿正东方向行走15Om到达C处，再沿北偏东22.6。方向前往游乐场。处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同.求公园北门A与南门8之间的距离.（结果取整数.参51/5考数据：sin22.6o-,cos22.6o-,tan22

7、.6o-,31,732),方法技巧解直角三角形的应用问题的有关要点（1）应用范围：通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问题，如：测不易直接测量的物体的高度、河宽等，解此类问题关键在于构造出直角三角形,通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度.（2） 一般步骤将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形，转化为解直角三角形的问题）.根据题目的已知条件选用适当的锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化为实际问题的答案.y针对训练（2023湖北黄冈市）15 .如图，建筑物BC上有一窗为8m的旗杆A8,从。处观测旗杆顶部A的仰角为53

8、。，观测旗杆底部8的仰角为45。，则建筑物BC的富约为m（结果保留小数点后一位）.（参考数据sin530.80,cos53o0.60,tan53o1.33）（2023四川凉山彝族自治州）16 .王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸试卷第6页，共7页大树A8的高度,他在点。处测得大树顶端A的仰角为45。，再从C点出发沿斜坡走2加米到达斜坡上。点，在点。处测得树顶端A的仰角为30。，若斜坡。尸的坡比为i=1:3（点EC,”在同一水平线上）.（1）求王刚同学从点C到点。的过程中上升的高度；（2）求大树A8的高度（结果保留根号）.（2023江苏连云港市）17 .我市

9、的前三岛是众多海钓人的梦想之地.小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿A8摆成如图1所示.已知AB=4.8m,鱼竿尾端A离岸边0.4m,JAD=0.4m.海面与地面A。平行且相距12m,即0=1.2m.（1）如图I,在无鱼上钩时，海面上方的鱼线BC与海面HC的夹角NBCH=37。，海面下方的鱼线Ce）与海面”C垂直，鱼竿45与地面AD的夹角NBAD=22。.求点。到岸边。”的距离；（2）如图2,在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角NRW=53。，此时鱼线被拉直，鱼线8O=5.46m,点。恰好位于海面.求点。到岸边。H的距离.（参考数据：3433152sin37o=cos53o-,cos370=sin53

10、o-,tan370-,sin22o-,cos22o-,tan22o-）5548165图1图2参考答案:1. A【分析】根据零指数描，特殊角三角函数值，算术平方根的定义，同底数靠乘法的计算法则分别计算即可.【详解】解：A、（4-3）0=1,此选项正确；B、tan30。=立，此选项错误；3C、4=2,此选项错误；D、=5,此选项错误；故选：A.【点睛】本题考查零指数靠，特殊角三角函数值，算术平方根的定义，同底数鼎乘法，熟知相关计算法则即定义是解决本题的关键.2. A【分析】连接AQ,根据直径所对的圆周角等于90。和勾股定理，可以求得AO的长，然后即可求得NA。C的余弦值，再根据同弧所对的圆周角相等

11、，可以得到N48C=N4OC,从而可以得到cosA8C的值.【详解】解：连接A。，如右图所示，CO是。的直径，CD=I0,弦AC=6,NDAC=90。，:D=Jcd2-AC2=8，/4”84.cosZADC=-=，CD105：ZABC=ZADC,4.cosNA8C的值为不，故选：A.【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、圆周角、锐角三角函数、勾股定理，解答本题的关键是求出c。SNAoC的值，利用数形结合的思想解答.3. A【分析】根据30。的正切值直接求解即可.【详解】解：由题意可知，tan30。=立，3故选：A.【点睛】本题考查30。的三角函数，属于基础题，熟记其正切值即可.4-2【分析】在

12、直角三角形中，锐角8的正弦=锐角B的对边：直角三角形的斜边，根据定义直接可得答案.【详解】解：ZAC6=90。,AC=I,A8=2,.nAC.sinB=,AB2故答案为：；【点睛】本题考查的是锐角的正弦的含义，掌握锐角的正弦的定义是解题的关键.5. A【分析】根据勾股定理得出A8,AC,BC的长，进而利用勾股定理的逆定理得出AABC是直角三角形，进而解答即可.【详解】解：由勾股定理得：AB=22+22=2,AC=12+12=2yBC=12+32=10,:.BC2=AB2+AC2,二ABC是直角三角形，NBAC=90。，tanB=ACy2B222,sin人把二坐二立，SinC二理二笔;出BC10

13、5BC105故选择：A.只有A错误.【点睛】此题考查解直角三角形，关键是根据勾股定理得出AC,8C的长解答.6. D【分析】过点A作AoiBC于点U在RtZXACO中，利用勾股定理求得线段AC的长，再按照正弦函数的定义计算即可.【详解】解：如图，过点4作A。工BC于点。，则NADC=90。，C:,AC=JAD2+CZ)2=5,sinZA8嚏故选：D.【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键.利用三角函数解决问题即可;由题意得：NA6=90。，BE=A,AE=M+2?=2也,BEy21tanA=k=-.AE222故答案选A.【点睛】本题主要考查了解直角三角形的

14、相关知识点，准确构造直角三角形，利用勾股定理求边是解题的关键.8 .A【分析】根据等腰三角形的性质得到BQ=DC=TBC,根据余弦的定义即可，得到答案.【详解】过点A作Ao1BC,如图所示：a：AB=AC,AD1BC,：.BD=DC,.DC.coa=,AC.*.DC=ACcos=2cosa，：BC=2DC=4cosa,故选：A.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，明确等腰三角形的性质是解题的关键.9 .或2J或2【分析】依据题意画出图形，分类讨论，解直角三角形即可.【详解】解：情形1：NA=60。，则N8=30o,：/PCB=30。,：NAC尸=60。，ZkACP是等边三角形,：.CP=AC=-B=2;情形2：/8=60。，则ZA=30o,BC=2,AC=23,/PCB=30。,/.CP1AB,jacbc=abcp,解得CP=6;情形3：/8=60。，则ZA=30o,BC=2,AC=23,CY/PCB=30