《现代信号处理》课程教案第06章 滤波器组基础.docx

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1、第6章滤波器组基础6.1滤波器组的基本概念一个滤波器组是指一组滤波器，它们有着共同的输入，或有着共同的输出，如图6.1.1所示。图6.1.1滤波器组示意图，(a)分析滤波器组，(b)综合滤波器组。假定滤波器“o(z),(z),，mt(z)的频率特性如图6.12(a)所示，x()通过这些滤波器后，得到的/()，x1(n)f,XMT()将是x()的一个个子带信号，它们的频谱相互之间没有交叠。若o(z),H1(Z),，U,T(Z)的频率特性如图6.1.2(b)所示，那么，x0(w),阳5),，XMT()的频谱相互之间将有少许的混迭。由于o(z),“(z),，(Z)的作用是将H)作子带分解，因此我们称

2、它们为分析滤波器组。将一个信号分解成许多子信号是信号处理中常用的方法。例如,若图6.1.1中的M=2,那么，在图6.1.2中，HO(Z)的频率特性将分别占据0乙和巴两个频段，前者对应22低频段，后者对应高频段。这样得到的/5)将是x()的低频成份，而阳()将是其高频成份。我们可依据实际工作的需要对XO5)和匹()作出不同的处理。例如，若我们希望对x()编码，设x()的抽样频率为20KHz,若每个数据点用16bit,那么每秒钟需要的码H(*)Hkei)HN(egVVVT一H0(ej)HKew)HZi)-XIXIX;02.2z.2k(Z+1)MM图6.1.2分析滤波器组的频率响应，(a)无混迭，(

3、b)稍有混迭流为320Kbito若x()是一低频信号，也即x()的有效成份(或有用成份)大都集中在/()内，x()内含有很少的信号能量。这样，我们可对x()()仍用16bit,对X()则用8bit,甚至是4bit,由于%()和王()的带宽分别比M)减少了一倍，所以，()和阳()的抽样频率可降低一倍。这样，对/()编码的数据量是160K6is,对王()，若用4bit,则数据量为40Kbit/so总的数据量为200Kbit/s,这比320Kbit/s减少了约37%。在图6.1.1(b)中，/个信号Xo5),x(),，XMT()分别通过滤波器GO(Z),G(z),，GwT(Z),所产生的输出分别是%

4、5),必5),，_1()。这M个信号相加后得到的是信号;5)。显然，G0(z),G1(Z),，GMT(Z)是综合滤波器组，其任务是将M个子信号Xo()，(是,XM-1()综合为单一的信号X()。前已述及，将x()分成M个子带信号后，这M个子带信号的带宽将是原来的M。因此，它们的抽样率可降低M倍。这样，在分析滤波器组HO(Z),HI(Z),(Z)后还应分别加上一个倍的抽取器，如图6.1.3所示。图中”o(z),“(z),，Hm.i(z)等工作在抽样频率，状态下，而%()，RWT()是处在低抽样频率状态(fsM)下。我们希望重建后的信号;5)等于原信号x()，或是其一个好的近似，那么，首先应保证；

5、5)和MO的抽样频率一致。因此，在综合滤波器组GO(Z),GI(Z),，GMT(Z)之前还应加上一个M倍的插值器，如图6.1.3所示。图中中间部分的信号重新作了定义。该图即是一个完整的M通道滤波器组。图中HO(Z),H1(Z),HMT(Z)的作用一方面是将原x5)分成M个子带信号，另一方面是作为抽取前的抗混迭滤波器。同理，G0(z),G(z),，GMT(Z)一方面起到信号重建的作用，但实质上是插值后去除映像的滤波器。图6.1.3M通道滤波器组也许读者会问，图中M倍抽取后又紧跟“倍的插值，二者的作用不是抵消了吗？实际上不是如此。前己述及，对x5)分解成与()，再()，XJWT()后再抽取，得到%

6、()，般MT5)，其目的是在低抽样频率状态下针对它们能量分布的特点给出不同的处理(例如编码)。这些处理或编码后的信号在送到插值器之前可能要经过很长的传输距离，因此图中的抽取和插值环节都是必要的。将信号x5)通过分解、处理和综合后得到;5),我们希望:5)=x5),例如，在通信中，我们总希望接收到的信号和发送的信号完全一样。当然，要求5)=5)是非常困难的，也几乎是不可能的。如果x()=CX5-%),式中C和O是常数，即x()是x()纯延迟后的信号，我们称x()是x()的准确重建(PerfectReconstruction,PR)。实现PR的滤波器组就称为PR系统。在图6.1.3的系统中，x()

7、对x()的失真主要来自如下三个方面：1 .混迭失真：这是由于分析滤波器组和综合滤波器组的频带不能完全分开及x()的抽样频率fs不能大于其最高频率成份的M倍所致；2 .幅度及相位失真：这两项失真来源于分析及综合滤波器组的频带在通带内不是全通函数，而其相频特性不具有线性相位所致；3 .对/5),项5),，X()作M倍抽取后再作处理(如编码)所产生的误差(如量化误差)。上述误差来源中，第三种来源于信号编码或处理算法，它和滤波器组无关，因此，我们在本书中不作讨论。在滤波器组中，研究最多的是如何消除第一和第二两类失真，或是着重消除其中的一种。在本章，我们则集中讨论和滤波器组有关的一些基本概念，给出相关的

8、定义与公式。至于滤波器组本身的讨论，则留待第七、第八两章。除了上面谈到的几种失真外，读者肯定还会问起一个问题：即图6.1.3中的2M个滤波器是否要一一设计？每一路的滤波是否要逐一计算？如果是这样，其设计任务和计算量岂不是非常大？为了回答上述问题，我们用DFT滤波器组(这是一种其基本概念为大家所熟知，且又是均匀的滤波器组)为例来给出相关的内容。6.2DFT滤波器组均匀DFT滤波器组是一种典型的滤波器组，它的基本思路可推广到其它类型的滤波器组。DFT滤波器组有着不同的导出方法B23J,现分别讨论之。6.2.1 直接导出在图6.1.3的M通道滤波器组中，我们先给定一低通滤波器”o(z),其单位抽样响

9、应r为为()，其频带为-二二，即带宽为士巴。设第攵条支路上的分析漉波器为“*(Z),MMM并假定它和o(Z)有如下关系:j-knhk(n)=h0(n)em(6.2.1)则Hk(Z)=HO(Ze2)=H0(zWt1)(6.2.2)这样，对图6.1.3中的第攵条支路，x()通过该支路后就变成一个窄带信号，其频谱在_.2%“2叫M2兀*+1)IM之间。如若将为()的输出与5)再乘以J瓦“，这就等于将xk(n)的频谱的中心移到G二O的位置，因为其带宽仍是,所以对s5)可作Af倍的抽取。图6.1.3中的第左条支路如图621所示。x(n)X(n)Ahk(n)图6.2.1M通道滤波器组中的第上条支路由上一章

10、的讨论，有k(n)=Xk(Mn)X式)=%()*()co/2乃心抑=x(n-ti)h(ni)emn=oo所以jkmk(n)=/x(Mn-ni)h(ni)em(6.2.4)Wj=-OC现将x()分成M个子序列，令m=Mr+1,r=-+,I=0,1,-1则M1coj2*kq()=XZjv(M一“)%(/r+)eM1=0r=-记X1(一/*)=x(Mn-Mr-/)(6.2.5a)(6.2.5b)p1(r)=h0(Mr+1)-1q5)=Z/=Oj-k1Xx1(n-r)p1(r)8再记tw=x1(r)p1(n-r)(6.2.5c)r=oo则1c(n)=t1(n)em,k=0,1,M-1(6.2.6)I=

11、O这是一个M点的逆DFT,“时域”与“频域”序号分别是/和女,它们都在下标上。如果我们把M倍抽取器移到滤波器的前面则可得到如图6.2.2的分析滤波器组。5)图6.2.2均匀DFT滤波器组图中X5)=x(M一。，p()=%5+/)(注：因为图中将抽取环节移到滤波器的前面,所以(6.2.2b)式中的M可以去掉)f5)=5)*p5)现在来分析一下完成图6.2.2的运算所需的计算量。由于“KZ)=Zwj),即每一个分析滤波器都是由Ho(Z)依次移位得到的，因此,设计时只需设计一个原型低通滤波器”O(Z)即可。假定M=8,力o5)的长度为48,则%()，4()的长度也是48,按图6.2.1,假定将加倍抽

12、取器已移至滤波器之前，如图6.2.2的一条支路。那么，计算出一个乙5)需要48次乘法，将时刻的()，”()全部求出需48*8=384次乘法。按图6.2.2的结构，由于Po5),，凸()的长度都等于48/8=6,所以将时刻的枢)，,t1(n)全部求出所需的乘法是6*8=48次。将f0(),，()再作一个8点的DFT,所需乘法O是51g28=2次。这样，完成图6.2.2的运算所需的乘法总共是48+12=60次，这比384次大大减少。图6.2.2的特点是，在求出时刻的f05),，匕()后，通过DFT可依次求出必()，%5)，不需要一条一条支路的分别计算，从而节约了计算时间。至此，我们已初步了解了均匀

13、DFT滤波器组的基本概念，并看到用多相结构可以大大减少乘法次数。下面，我们从DFT概念自身来导出DFT滤波器组，并进一步了解该滤波器组的特点。6.2.2 从DFT来导出均匀DFT滤波器组给定信号x()，w=0,1,TV-I,其DFT定义为f-IX(Z)=ZxS)/=0X(O),X(I),，X(N-I)是x()的DFT系数，它代表着x()中直流分量，基波，.2.二次谐波以及直至N-I次谐波分量的大小，它犹如用一个个中心频率在吗二J五处的极窄带的漉波器对x()滤波后的输出。令j5)=x5-i),/=0,1,M-1,将45)输入到一个DFT矩阵(M*M),设其输出为劭5),，如图6.2.3所示，这是

14、DFT滤波器组最简单的形式。So5).WW*M产；().声1%5)mi(h)&2()*()图6.2.3DFT滤波器组最简单的形式由该图及$,()和x()的关系，有%=X5)WJ=ZM-i)%x=0/=O(6.2.7)及M-IM-I1(Z)=XSj(Z)=X(ZWj)TX(Z)f=0/=0(6.2.8)令W-I1_-mo(z)=fz=r=0I-Z(6.2.9)则Uo(Z)=X(Z)Ho(Z)(6.2.10)并有%(z)=HO(Zwj)(6.2.11)及%(z)=X(z)/(Z)(6.2.12)这样,在图6.2.3中由x(n)至ui(n)之间有一滤波器组(图中未画出)Ho(Z),，,HMT(Z)。jW-I,W-1该滤波器组和(6.2.2)式有着相同的形式，都是由HO(Z)作均匀移位的结果，因此，(6.2.11)式的“a(z)也是均匀DFT滤波器组，其原型低通滤波器”O(Z)由(6.2.9)式给出。该原型滤波器的频率响应是:sn(-)(6.2.13)Hod)=JS呜)其幅频响应为一周期的SinC函数，第一个傍瓣的衰减约为13dB,如图6.2.4(a)所示，而Hk(e