《指数函数与对数函数》单元课时教学设计.docx

《《指数函数与对数函数》单元课时教学设计.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《指数函数与对数函数》单元课时教学设计.docx（94页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、人教A版高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数一、单元内容和内容解析1.内容函数是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，在解决实际问题中发挥重要作用.函数是贯穿高中数学课程的主线.本单元的教学设计是围绕着两大基本初等函数展开，进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.结合实际问题，体验数学模型的文化内涵，体会建立数学模型的应用价值。通过多元化的评价，让学生感受建立数学模型的魅力.具体来看，本章包括五节内容：4.1指数，4.2指数函数，4.3对数，4.4对数函数，4.5函数的应用(二).这一结构体系体现了研究个数学对象及其应用的基本思路和方法.本

2、单元的知识结构图如下：本章教学约需13课时，大致分配如下：(1)4.1指数.本节含2课时：n次方根与分数指数塞；无理数指数塞及其运算性质.(2) 4.2指数函数.本节含2课时：指数函数的概念；指数函数的图象和性质.(3) 4.3对数.本节含2课时：对数函数的概念；对数的运算.(4) 4.4对数函数.本节含3个课时：对数函数的概念；对数函数的图象和性质；不同函数增长的差异.(5) 4.5函数的应用(二).本节含4个课时：函数的零点与方程的解；用二分法求方程的近似解；函数模型应用(1)：用函数模型解决实际问题；函数模型的应用(2)：选择函数模型解决实际问题.(6)小结.本节含2个课时：回顾4.1指

3、数，4.2指数函数，4.3对数和4.4对数函数，梳理其知识结构，对典型题型进一步的巩固训练；回顾4.5函数的应用(二)，梳理其知识结构，对典型题型进一步的巩固训练.(6) 容解析(1)内容的本质：(i)为研究指数函数，需要把整数指数球推广到实数指数累，从而为研究指数函数和对数函数奠定基础.(ii)指数函数是刻画呈指数增长或衰减变化规律的函数模型，是解决实际问题的重要工具，同时，指数函数为今后学习对数函数以及等比数列的性质做准备.(iii)对数是指数基中指数的一种等价表示形式，利用指对数互换理解并推导对数的运算性质.(iv)将对数函数与指数函数建立联系，体会从不同的函数模型理解同一变化规律的实际

4、问题，体会指数函数与对数函数互为反函数.(V)函数的内部应用：结合函数零点的两种理解思路，二分法求方程的近似解；函数的外部应用：函数模型的实际应用，用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程.(2)蕴含的数学思想和方法：指数函数、对数函数都是学生在系统学习函数概念和掌握了函数性质基础上进行研究的，是两个很重要的基本初等函数之一，学生需要通过观察、分析、探究等一系列的思维活动，由具体的问题和图象进行归纳、演绎，并通过抽象概括或推理得出其本质，从而得到有关概念和性质，其中蕴涵着丰富的数学思想方法.具体如下：(i)4.1指数：指数易的推广实质是将指数的范围进行逐步推广，使其对任意的实数都有意义，推广的

5、思想方法与数系扩充的思想基本一致，就是将相的指数X的范围逐步推广到全体实数，而在推广过程中要使指数运算性质得到保持.在推广的过程中体现了由特殊到一般、由具体到抽象、用有理数指数累逼近无理数指数幕的极限思想，并从数和形两个角度认识到无理数指数累是一个确定的实数，进而理解无理数指数累.(ii)4.2指数函数：指数函数是刻画呈指数增长或衰减变化规律的函数模型，其概念的教学，应该在函数概念的基础上，重点揭示指数增长或衰减的规律.应按“事实一概念”的路径，即学生要经历“背景一研究对象一对应关系的本质一定义”的过程.学生在经历这个过程而形成指数函数的概念.在了解指数函数的背景后，再描点作出指数函数的图象，

6、从而概括指数函数的性质.在指数函数定义和性质形成的过程中体现了抽象与概括、特殊与一般、数形结合等思想.(iii)4.3对数：对数是指数慕中指数的一种等价表示形式，己知底数和累，求指数，明确引入对数的必要性，再通过指数易运算推导对数运算的性质.在研究对数的概念和对数的运算性质时，运用了指对数互换、对数运算是指数运算的一种逆运算，以及对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，体现了化归转化的思想.(iv)4.4对数函数：对数函数和指数函数可以从不同的角度刻画同一个问题的变化规律,是基本初等函数的再拓广，是研究函数路径“背景一一概念一一图象与性质一一应用”的再强化.在引入对数函数的概念上，运用了特

7、殊到一般和数形结合的思想，从而逻辑推理出对数函数的概念；在探究对数函数的性质时.，与指数函数类似，描点作图，概括对数函数的性质，体现了数形结合的数学思想，并体会同底的指对数函数互为反函数，进一步理解指对数运算的互换和逆运算的思想.（V）4.5函数的应用（二）：函数的内部应用的研究路径是“函数零点的概念一一函数零点存在定理一一应用函数零点存在定理和函数性质判定方程的解”，在函数的零点与方程的解的转换过程中，逐步渗透化归转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.在了解函数的零点的两种理解思路的基础上，再探究用二分法求方程的近似解，即渗透了逼近的思想和算法思想，又让学生经历了观察发现、抽象概括的过程，

8、进一步强化函数与方程的思想.函数的外部应用即函数模型的实际应用，引导学生认识“直线上升”“指数爆炸”“对数增长”的差异，同时指导学生如何从实际情境中用数学的眼光发现和提出问题,通过分析问题、构建模型、求解结论、验证结果，以达到分析和解决问题的能力，体现了建立函数模型解决实际问题的数学思想，即数学建模的核心素养.（3）知识的上下位关系：指数函数与对数函数是两大基本初等函数之一，在高中数学课程中，课标（2017年版）2023年修订把指数函数与对数函数的内容安排在必修课程“主题二函数”中，把“函数的概念与性质”、“吊函数、指数函数、对数函数”“三角函数”“函数应用”视为一个整体.从整体上看，在学习指

9、数函数与对数函数一章之前所学的是函数的概念与性质，这样集中安排函数内容学习有利于函数学习经验的运用、函数知识的系统构建；从章节内部来看，教材是按照“背景一概念一图象和性质一应用”的逻辑呈现，通过经典的年增长率和碳14的年衰减率变化进行引入，让学生感知指数增长和指数衰减，以说明引入指数函数的必要性，在探究指数函数的概念和图象及性质的基础上，再结合指对数互换再探究对数函数的概念和图象及性质这是“来龙”；将抽象的知识运用到实际生活中以解决指数爆炸和对数增长的问题，这是“去脉”，同时指数函数也是后续研究数列问题的重要载体.具体如下：（i）4.1指数：学生在初中阶段接触过整数指数惠及其运算性质，为了研究

10、实数指数嘉,就要先定义n次方根的概念，从而得根式的性质，进而引入分数指数幕及其运算性质，合二为一得有理数指数事及其运算性质；无理数指数事及其运算性质是上一节内容的延伸，从而建立实数指数塞，并研究其运算，为指数函数y=（O且的学习奠定了基础.（ii）4.2指数函数：学生在初中阶段已经学习过增加量和增长率的相关概念，为了研究指数增长和指数衰减模型，需先抽象概括指数函数的概念，在刻画其本质特征：在自变量增加1个单位，即自变量从与变化到x+1时，相应的函数值之比乌型=为常数.了解指数函数模型是刻画增长率（衰减率）为定值这一变化规律的基本事实后，借助研究基函数的经验，研究指数函数这一基本初等函数的图象和

11、性质，从而强化指数描述的变化规律，进一步理解函数的概念，并利用指数函数建立数学模型解决实际问题.为后续学习指对数互换，指数函数与对数函数互为反函数提供了理论基础.(iii)4.3对数：在累标=N中，已知底数。和察N,求指数X,显然这种运算与指数塞的值及底数的值紧密联系，这就是要引入的对数，即指数运算的一种逆运算，从而说明引入对数的必要性；结合指数表达与对数表达的互换，探究对数的性质，再结合指数的运算性质，探究对数运算的性质.这为接下来要学习的对数函数打下基础.(iv)4.4对数函数：对数函数和指数函数可以从不同角度刻画同一问题的变化规律，进一步强化理解指对数互换的应用；对数函数的图象和性质：与

12、指数函数类似，用对数函数的图象探究对数函数的性质，并用所得到的性质进一步理解对数函数的图象.在了解对数函数的图象和性质后，结合指对数互换，并建立与指数函数的图象和性质的联系，按照函数的三要素来认识他们之间的关系，其中指数函数的定义域是对数函数的值域，指数函数的值域是对数函数的定义域，从而理解指数函数与对数函数互为反函数；不同函数增长的差异：对比增加量和增长率的差异，理解“指数爆炸”的含义，并结合指对数函数互为反函数，从而再理解“对数增长”的含义，进而理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的增长差异.这部分的内容也为后续的数学建模积累了必要的数学模型，为解决简单的实际问题做好准备.(V)4.5

13、函数的应用(二)：前面的第二章“二次函数与一元二次方程、不等式”已经初步建立了方程的根一方面可以理解为函数的零点，另一方面还可以理解为函数的图象与X轴交点的横坐标，为函数的内部应用，利用所学过的函数研究一般方程的解提供了类比学习的依据；用二分法求方程的近似解是函数与方程的延续，加强了函数的应用，拓展了方程的思想方法.同时前面的学习的第三章“函数的应用(一)“已经初步了解了函数的实际应用(外部应用)，结合本章学习的指对数函数，可以建立实际问题的函数模型，并通过函数模型反映实际问题的变化规律，从而分析和解决实际问题，使学生进一步理解指数函数和对数函数，学会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.

14、这为后续的怎样用函数构建数学模型解决实际问题打好了基础.(4)育人价值：(i)4.1指数：引入一种新的数，就要研窕它的运算：定义一种运算，就要研究它的运算律.定义运算是数系扩充中的核心问题，其基本原则是“使算术运算的运算律保持不变”，它反映了数学推广过程的一个重要特性：使得在原来的范围内成立的规律在更大的范围内仍然成立.所以将整数指数累推广到实数指数累的过程体现了数学思维的严谨性、数学思想方法的前后一致性和逻辑的连贯性，以培育学生对数学学科的严谨性的育人价值.(H)4.2指数函数：在引入指数函数的概念时，充分关注与实际问题的联系，体现数学应用价值.从旅游人次的增长问题和碳14的衰减问题这两个实

15、例引入指数函数的概念，这两个问题，一个是增长问题，另一个是衰减问题，通过实例，有利于学生更好地感受指数函数模型，促进学生了解中国文化、关心社会，通过实际问题渗透数学思想方法和彰显人文价值，引导学生学会用数学的眼光观察世界、数学的思维思考世界、数学的语言(指数增长、指数衰减)表达世界.(iii)4.3对数：在数学发展历史上，先有对数，然后才有指数累，后来，随着数学公理化体系的逐步完善，一般安排先学习指数累，再学习对数，在指数累概念及运算的基础上，引入对数的概念及其运算，这也符合学生的认知规律，也更比较自然.另外对于自然数。不仅是数学史上，甚至是人类科学史上最伟大的两个数(另一个是),以e为底的指

16、数函数可以描述科技、经济以及社会生活中众多增长或衰减的变化规律,体现了数学学科的实际应用的价值.(iv) 4.4对数函数：为了让学生在认识对数函数时也能感受到对数函数的实际背景，并建立与指数函数的联系，我们从另一个角度继续研究碳14衰减的问题，让学生进一步感受其中的函数模型.同时，还需关注与实际问题的联系，通过具体的实际问题来体现数学思想方法和价值，体现了数学应用的价值.同时也能充分发挥对数在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算和数学建模等核心素养的作用.(v) 4.5函数的应用(二)：函数的内部应用，侧重于函数与方程的互相关系，突出用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法)，帮助学生从函数的观点认识方程，了解用二分法求方程近似解的思路、步骤和算法，提升数学运算素养；函数的外部应用，侧重于用函数构建数学模型的基本过程，突出用“指数型”函数和“对数型”函数模型发现和提出问题的能力、