盘点解析几何中的十大名圆.docx

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1、盘点解析几何中的十大“名圆”1.阿波罗尼斯圆在平面上给定两点A,B,尸点在同一平面上且满足小岂=4,当40且;11时，P点的轨迹是圆，称之为阿波罗尼斯圆(/1=1时尸点的轨迹是线段AB的中垂线)解析：设A(-c,0),5(c,0),P(x,y).因为AP=45P(cO,10且一1)由两点间距离公式得(x+c)2+y2=(x-c)2+/,rQ2+V(r)22219?化简得工一产C+y2=VC.所以点尸的轨迹是以JCiO为圆心，以YC,为半径的圆.I-1JU2-I)1k2-1)A2-I例1.满足AB=2,AC=2BC的ABC的面积的最大值是.解析：显然此题背景是“阿波罗尼斯圆”，建立如右图所示的直

2、角坐标系.由AB=2,AC=&3C知C=1,4=近，代入阿波罗尼斯圆公式得(x-3)2+产=8.设圆心为M,显然当CMJ_X轴时，面积最大，此时ICM1=2&.所以应.：1=；22忘=2点2.斜率圆动点尸满足对两个定点AB的张角是90(kpAAp8=T或者丽丽=。)确定隐形圆.该类型实质就是直径所对的圆周角为直角的应用.例2.设帆R,过定点A的动直线x+冲=0和过定点B的动直线比-旷-机+3=0交于点P(x,y),贝”尸PB的最大值是.解析：易得40,0)1(1,3).设P(xty),则消去?得：x2+y2-x-3y=0,所以点P在以AB为直径的圆上,PA工PB,所以WAF+12BF=IA例I

3、O,papb=5.3.内准圆22如图，已知M(%,%)是椭圆+=(abO)上一点，过坐标原点。分别向圆ab：。一%)2+(-%)2=/(0加作两条切线，切点分别为AB,且与椭圆交于点尸,。.若记直线IOPI2+IOQ/X2V2例3.如图，在平面直角坐标系my中，已知R(Ko,%)是椭圆C：彳+行=1上的一点，从原点。向圆R：aXo)2+(y%)2=8作两条切线，分别交椭圆于P,Q.(1)若直线OROQ的斜率存在，并记为加网，求仁山2的值；(2)试问IOPI+IO。/是否为定值？若是，求出该值，若不是，说明理由.解析：(1)根据题意，设直线。户的方程为y=人工，直线OQ的方程为y二&x因为直线O

4、P与OQ都与圆R相切所以:1yt)12,但了一%121化简得小&,=71122214XO1因为点R(%,%)在椭圆C上，所以今+普=1,即$=12-；耳，所以女儿=_彳24122x-82(2)当直线OROQ不落在坐标轴上时，设P(M,凹),。(,)由知2%,+1=0,所以生及=T,1ipy12y=-.xix24因为P(M,y),Q(x2,%)在椭圆C上，所以苴+很=1+餐=111（1即必2=12-8。=12-齐；，所以12J22=整理得“；+/=24,所以12-x122112-x12.所以OP?+QQ2=52+#+=（%；+%；）+（；+）=36.当直线OP,OQ落在坐标轴上时，显然有OP2+

5、OQ2=36.综上可知OP?+OQ?=36为定值.4.蒙日圆22椭圆*+*=I的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是蒙日圆：x2+y2=a2-b2.解析：若两条互相垂直的切线中有一条斜率不存在时，可得点P的坐标是(4,b),或(土。,-初满足要求.当两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为O时，设点尸的坐标为(方,%)(Xoo,且%工)，因此设过点P的切线方程为y-%=Z(XAO)(Z0),由，/人2得3一=心一/)(crk2+Z?2)x2-22(x0-y0)x+a2(Ax0-j0)2-a2h2=O.因为直线与椭圆相切，所以其判别式的值为0,得(x-2)2-2xoyoZs+-2=(2-6f2).

6、因为即人,即8是这个关于攵的一元二次方程的两个根，所以先9一/因此ZPJ勺4=-1x+y=a1+b2.进而可得f+产=+/.例4.已知椭圆C:，+*=1(。匕0)的一个焦点为(乔,0),离心率为坐.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P(XO,打)为椭圆C外一点，且点尸到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.a2=b2+c2解析：(1)C_y5a3C=y5(2)设切点为A(XI,y),B(x2,y2).直线PA的方程:平+W=1o4%x+9yy=36,&pA=-*949V1直线PB的方程：.+型=Io/+%。=%,%,=慢949y2由PA与PB垂直得kpAkPB=-1=16xix2+8

7、1y1y2=0直线AB的方程：巴匹+=Ioy=-也x+色9490%椭圆方程4/+9),2=36,联立得到(9m+4年272x+324-81y=072r于是X1+X2=-Z-2-7，X1X2=9巾+4片1232481)，：瓯+4片.16x1x2+81f-+-Y-I9%为人9%+=0=yx1x2+(9-xox1)(9-xox2)=Oy(r0+)z0)x2-9x0(+w)+81=O再代入，得到(X+M)最枭应。彘1+81=0=117y；09y；-9片y；=O=片+尤=13.即点尸的轨迹方程为+y2=13.5.彭赛列圆一个三角形外接于一个圆，内切一个圆，则外接圆可以有无数个内接三角形满足其内切圆为上述

8、的同一个.例5.(2023年全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点。.焦点在X轴上,直线/：x=1交C于P,Q两点,且。尸1OQ.已知点M(2,0),且OM与/相切.(1)求C,G)M的方程；(2)设A，4，A是C上的三个点，直线A&,AA均与OM相切.判断直线44与OM的位置关系，并说明理由.解析：(1)依题意设抛物线C：y2=2px(pO),P(1,yo)，Q(1，-No)，vOPO2,.P=1-3=1-2p=0,.2p=1,所以抛物线C的方程为=x,M（0,2）,G）M与=1相切，所以半径为1,所以OM的方程为（x-2）2+y2=1;设Aar），4。2，%），4（打必），若A4斜率不存在,则

9、A4方程为=或=3,若A4方程为X=1，根据对称性不妨设A（I，1），则过A与圆M相切的另一条直线方程为y=,此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在A.一不合题意；若A4方程为=3,根据对称性不妨设4（3,6）,4（3,-6）,则过A与圆M相切的直线AA为y-6=立（工一3）,又以&=W二坐，=0,3Xr3凹+必3+y33x3=O,A3（O,O）,此时直线A3关于X轴对称，所以直线与圆M相切；若直线A4，A4，&A斜率均存在，则=dm=dk%=v4v,所以直线A4方程为y-y=整理得一（弘+kU+nm=。，同理直线AA的方程为戈一（弘+外/+必必=0,直线44的方程为6（%+必）%丹=，I2

10、+yyIA4与圆M相切，112=1整理得（货一1）+2凹+3-），；=0,AA与圆M相切，同理+（y+y2）（yf-1）+2j1j3+3-=0,所以必，为为方程（#-1）1+2.+3-#=0的两根,%+%=一学M到直线&的距离为：XTM-I|2+3一）；IJ2+.vj=I7=IJ；+H=公+1=11+（必+城（2y）2（-1）2+4+1所以直线44与圆M相切；综上若直线A4，A4与圆M相切，则直线44与圆相切.6.焦点三角形的内切圆结论：P为焦点在工轴上的双曲线右支（或左支）上任一点,则八。6心的内切圆与轴相切于右顶点A（或左顶点AZ例6.已知双曲线C：*-=1（UO）的左、右焦点分别为小尸2

11、,P是双曲线上一点，且（而+配可=0（0为坐标原点），若耳玛内切圆的半径为则C的离心率是（）A.3+1B.立里C.逅上D.6+122解析：（加+丽）好=O,即为（加+质）（而一而t2）=0,即为加2=赤）可得IOP=C所以PG_1P/根据双曲线的对称性，不妨设点尸在第一象限，如图所示，由题意设斗鸟的内切圆切三边分别于G,D,E三点，则IPGI=IPEG耳I=IZ）用，%I=IZ）段.又IPKHP玛=2,所以IGNT%|=|耳Hf）段.设Z）（XCP0）,贝IJXO+C-（C-XO）=2a,所以=,所以切点。为双曲线的右顶点，所以附I=IGPI+防=刊。用=。+。=弓+附|=|阳+囱=|网+r=

12、Cg在R1PFsF2中，由勾股定理得（当+cj+（C-IJ=Re）?,整理得4c2-4c-5=0,即4-4e-5=0,解得e=1,2又因为e1,所以C的离心率为=必1,故选：C.27.准线圆22结论：已知椭圆石：+上=1（。/?0）,A8为过定点/（加,0）的动弦（0m立）的右焦点为尸，A、B分别为椭圆的左项点和上顶点，/的面积为a22+1（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点尸的直线/与椭圆C交于P,Q两点，直线AP、AQ分别与直线X=2应交于点M、N.以MN为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由.22解：（1）即椭圆C的标准方程为二十匕=1.42（2）已知点A（2

13、,0）,设直线PQ的方程为R=（y+J,点P（Ai,乂）,。（马,必）直线AP的方程为治(2),直线AQ的方程为y二氏(2),将X=2应代入直线AP、AQ方程,可得M(2(2忘+2),郊2立,(2近+2)%x12IIX2+2设以MN为直径的圆过定点P(m，)，则PMPN=(),即局丽=(2&_机产+(2近：；)M_,(2应：箸j二(2向附2+(2立+2).(2近+2),-产+2),+(2立+2),x1+2x2+2(x1+2x2+2)_C)S曲2+(2&+2)凹(222)j2f(22+2)y(2+2)y22Zy1+2+2+2)r(y1y2)+(2+2)222联立椭圆亍+与=1和直线PQ的方程为X=)+J5,可得Qy+)2+2y2-4=0,化简得(r+2)y2+2y-2=0,即必+必=学巨，Y%=言1+21+2代入上式化简得=(2近一初)2,(2+2)2(-2)i(2+2)2f(-2)+(+2)(-2)12+