第四章 微专题五.docx

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1、微专题五三角函数问题的多解探究解题技法三角函数是高中数学的重要内容，是每年高考的必考知识点，也是与其它知识交汇频率较高的知识点，它与数列、向量、方程、不等式、解析几何等知识紧密联系，历来倍受各级各类命题者的青睐.题目已知3cosx+4sinx=5,求IanX的值.解方法一构造方程由3cosx+4sinx=5两边平方,得9cos2x24sinXCoSx16sin2x=25.而25=25(sin2x+cos2x),所以上式可整理为9sin2-24sinXCOSx+16cos2x=0.即(3SinX4COSJO2=0.4所以3sinx4COSX=0,解得tanx=Q.方法二构造方程组sin2xcos

2、2%=1,由1一.1消去COSX,3cosx4snx5,整理得(5SinX4)2=0.,43解得SinX=cosx=g.方法三构造辅助角由3cosx+4sinx=5(jsinxcos,=5Sin(X+y)=5,其中8S8=1，Sin3=5.所以tan少=*所以x+=2k+(kZ)t3,于是tanx=tan2A-j=cot=方法四代数换元令tanx=1,即cosx=sinx,代入3cosx+4sinx=5,得3cosx+4/COSX=5,CoSX=分工,SinX=再代入sin2x+cos2%=1,得Q+Q%=144解得=J即tanX=.方法五运用三角函数定义设P(Jn,Zo为角%终边上任意一点，

3、P点到原点O的距离为r,则r=ym2+n2.把SinX=心，COSX=/代入已知等式得即(3m+4)2=(5rA=25(m2+n2).整理得(4?-3)2=0.所以4?=3，显然】0.n4故an方法六构造直线斜率由3cosx+4sinx=5可知点A(COSX,SinX)在直线3x+4y=5上，同时也在单位圆f+),2=上，所以点A为直线与单位圆的切点.34由于直线的斜率为一3所以。A的斜率为点口H4即tanx=y方法七构造单位圆、34因为3cosx4sinx=5,即mcosx+gsinx=1.设A(COSx,Sinx),8停，之)，则点A,8均在单位圆W+y2=1上.34所以过B点的切线方程为x+Q,=1.34可知点A(cosX,sinx)也在切线科+学=1上，从而点A也是切点，由切点的唯一，性也可知A,8两点重合，所以COS4X=予方法八构造平面向量3-54-5-XInSinIa即可知n=1,=1.所以/H,均为单位向量，且n=1.mm,等号成立的条件为：，,4-33- 54-5