第九章 微专题十一.docx

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1、微专题十一数学问题中圆的寻觅解题技法众所周知，圆是常见的平面图形，无论从形或数两方面来看，圆都具有丰富的内涵.当我们面对某些数学问题时，倘若能够从圆的视角来审视问题，即寻觅问题中圆的隐形的踪影,常常能使问题的求解过程变得清晰明了，简单快捷.本文拟就如何寻觅问题中圆的踪影，分三个方面予以概述.一、寻觅几何圆所谓寻觅几何圆，是指通过构造一个问题背后的相关圆，借助圆的几何性质求解问题.例1在锐角AABC中，4=45。，若=1求反的取值范围.以下是本题的常见解法：解因为3+。=180。一人=135。，0oB90o,0oC90o,所以45vC90.又由余弦定理得b=2sin8,c=2sinCt所以bc=

2、2sin(1350-C)2sinC=2sin(2C-45o)+2.因为45。2。一450135。，所以乎sin(2C45。户1,所以bc(25,2+2.上述解法，局限于“数”，倘若基于“形”，则可画出AABC的外接圆O,如图1,设8M,CN为圆。的直径.因为A=45。，BC=小,由圆的几何性质可知，当点A在劣弧MM不含端点)上运动时，ZA8C即为锐角三角形，此时，ZXABC的面积S满足SambcSWSm5c。为劣弧MN的中点)，即2W/VfCsin0,b0,且+1=1,求P=+Z+/?TP的最小值.本题按照常规思路求解，不太容易.如若能够伸出圆的视角，则能峰回路转.请看以下求解过程.解如图5,考虑直线/:打方=1，因为/房=1,不难发现，直线/过点P(2,3),构造圆C(1r)2+(r)2=r2,与直线/切于点T,显然圆C与X轴、y轴分别切于点M(qO),M。，).易得(a,0),8(0,)，AB=ya2-1-b2f所以P=ab-yja2-bz=QAI+O8+H8=QA+O8+7+T8=QA+O8+HM+8M=QM+QN=2r.由于点尸(2,3)在圆外，故有(2r)2+(3-r)2r2,整理得-10r+130,解得r25+25(rW5-25舍去).故的最小值为1043.