正弦函数余弦函数的性质 第一课时 正弦函数余弦函数的周期性与奇偶性 教学设计.docx

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1、1. 4.2正弦函数、余弦函数的性质第一课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性喙朝H丽国昌I课前自主学习，基稳才能楼高预习课本P3437,思考并完成以下问题(1)周期函数的定义是什么？如何利用周期的定义求正、余弦函数的周期？正、余弦函数的奇偶性分别是什么？1 .周期函数周期函数的概念条件对于函数及r),存在一个韭雯常数7当X取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=(x)结论函数f(x)叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期最小正周期条件周期函数/(X)的所有周期中存在一个最小的正教结论这个最小正教叫做/(X)的最小正周期点睛1对周期函数的两点说明并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周

2、期性，则其周期也不一定唯一.(2)如果T是函数/(x)的一个周期，则nT(,WZ且0)也是外幻的周期.2 .正弦函数、余弦函数的周期性和奇儡性函数,=sinXJ=COSX周期2Ar(AZ且AO)2At(AZ且A0)最小正周期22奇偶性奇函数偶函数讣枝打1.判断下列命题是否正确.(正确的打“J”，错误的打X”)因SinG+=Si号则牌正弦函数y=sinx的一个周期.()EEaH心三角函数的周期典例求下列函数的周期.(1)(x)=C0S2xj;(2)(x)=sinx.解(1)法一定义法Vf(x)=CoS(2x+9=CoS(2x+2r)=cos2(x)J=/(x),即f(x)=(x),：函数f(x)

3、=zCoS(2#+习的周期T=TT.法二公式法*g2.2r2又r=H=T=；函数/(X)=CM2x+的周期7,=.(2)法一定义法V(x)=sinx,/(x)=sin(x)=sinx=f(x),J(X)的周期为.法二图象法1：函数j=sinx的图象如图所示.-2-O2由图象可知T=a求函数最小正周期的常用疗法除了定义法外，求三角函数的周期，一般还有两种方法：(1)公式法，即将函数化为J=ASiI1(ftv+p)+8或)，=ACOS(x+e)+B的形式，再利用T=篇求得；(2)图象法，利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期.活学活用1求下列函数的周期.(1)j=3sinjx3j;

4、(2)j=cosx.解：(I)T=%2=3Si11住r+3)的周期为4.(2)函数j=cosx的图象如图所示,由图象知T=.题型二三角函数的奇偶性典例1(1)函数1X)=啦sin2x的奇偶性为()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数(2)判断函数yU)=sinx+竽)的奇偶性.解析：函数/U)=sin&+用为偶的虬判断函数奇偶性的方法岸点(r)=)(或/(-，)寸G)、此函数非奇非偶判断函数的奇偶性活学活用1判断下列函数的奇偶性：(1)(x)=xcos(+x);(2)f(x)=sin(cosx).解：函数f(x)的定义域为R,V(x)=xcos(+x)=-XCOSxt/

5、(-X)=(-x)cos(-X)=XCOSX=ef(x),，f(x)为奇函数.函数f(x)的定义域为R,(-x)=sincos(-x)J=sin(cosx)f(x)9.f(x)为偶函数.EsSU三角函数的奇偶性与周期性的应用典例1定义在R上的函数f()既是偶函数又是周期函数，若/(x)的最小正周期是,且当x,T时，/(x)=sinx,求/闺的值.解Y/(W的最小正周期是匹()=，(-2)=/(一Yf(X)是R上的偶函数，F(-3)=/)=sin3=./()4I一题多变1 .I变条件1若本例中“偶”变“奇”其他条件不变，求/闺的值.解T管)=f(V)=T(3)=_s3=-2 .变设问若本例条件不

6、变，求/(一党的值.解：，(T)=，(1F)=z(3+9=，S)=Sin出3 .变条件若本例条件为：函数/(W为偶函数且/(0=-G)=I，求/管)的值.解:；/(+?=_/(幻，(x+)=(x),即7=r,f曾=/管f)=/(-f)=/(j)=i.解决三角函数的奇偈性与周期性综合问IB的方法利用函数的周期性，可以把x+八Z)的函数值转化为X的函数值.利用奇偶性，可以找到一X与X的函数值的关系，从而可解决求值问题.层级一学业水平达标1 .函数HX)=Sii1(x)的奇偶性是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数解析：选A由于xR,且x)=sinx-sin(-)-fi.

7、x)f所以大X)为奇函数.函数y=-XCoSX的部分图象是下图中的()解析：选D因为函数y=-XCoSX是奇函数，图象关于原点对称，所以排除A,C;3,已知函数/(x)=sin(-3-1,则下列命题正确的是()A. Ar)是周期为1的奇函数B. /U)是周期为2的偶函数C. Kr)是周期为1的非奇非偶函数D.大幻是周期为2的非奇非偶函数解析：选B/U)=sin(-1=cos7tx1,从而函数为偶函数，且T=M=2.4 .函数y=4sin(2x+)的图象关于()AX轴对称B.原点对称C.)，轴对称D.直线X=W对称解析：选Bj=4sin(2x)=-4sin2x,奇函数图象关于原点对称.5 .函数

8、y=cos(4+?的奇偶性是()A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.即是奇函数也是偶函数解析：选Aco(-+?=CoSG9=Si苣，故为奇函数.6 .函数J=COS&+的周期为.解析：T=4.2答案：47 .函数八幻是以2为周期的函数，且/(2)=3,则/(6)=解析：V函数f(x)是以2为周期的函数，且/(2)=3,.(6)=(22+2)=/(2)=3.答案：38 .函数f(x)=3CoS(S1m)(0)的最小正周期为斗，则/(九)=解析：由已知得=3,./(x)=3cos(3x-9，/()=3cos=3co(r-=-3COSW=-2,3答案：9 .判断下列函数的奇偶性.10 )f(x)

9、=COSG+2x)COS(Tr+x)；11 )f(x)=1+sinX+1-sinx.解：(1)xR,f(x)=cosg+2Jcos(7r+x)12 sin2x(-cosx)=sin2xcosx./(-x)=sin(-2x)cos(-x)13 sin2xcosX=f(x).该函数f(x)是奇函数.对任意xR,-1sinx1,：1+sinX妾0,1-sinx0./(x)=1+sinX+71-sinX的定义域为R.V/(-x)=1+sin(-)+1-sin(-x)=1-sinxj1sinx=f(x),该函数是偶函数.10.已知函数y，sinx+；ISiiIXI，(1)画出函数的简图；此函数是周期函数

10、吗？若是，求其最小正周期.解：(1),y=sinxsinx=fsinX,x2Ar,2(ArZ),(O,x2k-t2Ar(AWZ),图象如图所示：yzx-3-2-O23x由图象知该函数是周期函数，且周期是2兀层级二应试能力达标1.下列函数中最小正周期为且为偶函数的是()B.j=sin解析：选B对于A,y=cos(2x?=COSG-2x)=sinIx是奇函数；对于B,J=siii(2x+?=cos2x是偶函数，且最小正周期=;对于C,=sinr=cosX是偶函数，但最小正周期T=2r;对于D,=SinX是奇函数，故选B.2 .函数/(x)=3singx+号是()A.周期为3加的偶函数B.周期为2的

11、偶函数C.周期为3加的奇函数D.周期为号的偶函数解析：选AVf(x)3sinx+2=-3COsP为偶函数，且T=f=3,故选A.33 .函数y=cosx+9(A0)的最小正周期不大于2,则正整数A的最小值应是()A.10B.11D.13C.12解析：选DVT=y2,Ar4,又Z,；正拄数的最小值为13.4 .函数/(x)=SiII(2x+e)为R上的奇函数，则的值可以是(解析：C要使函数f(x)=Sii1(2x+p)为R上的奇函数，k9AWZ.故选C.cosx9-5x0,5 .若函数HX)的定义域为R,最小正周期为学，且满足人)=，2则,sinX,Ox6 T)=7 .函数J=卜in外的最小正周

12、期是.解析：.y=sinT的最小正周期为丁=4加，而y=卜in,的图象是把y=Si11T的图象在X轴下方的部分翻折到X轴上方，力=卜in1的最小正周期为T=2.答案：27.已知/(X)是以Tr为周期的偶函数，且x(),时，/(x)=1sinX,当x含3j时，求f(x)的解析式.解：xy,3时,3-x,因为x,卜时,/(x)=1-sinX,所以/(3x)=1sin(3-X)=1sinx.又/(x)是以为周期的偶函教，所以/(3兀-x)=f(-x)=(x),所以/(x)的解析式为/(x)=1-SinX,x于,3.8.已知函数f()对于任意实数X满足条件f(x+2)=一丽(f(x)O).求证：函数/(X)是周期函数.(2)若/(1)=-5,求f(f(5)的值.解：(1)证明：V(x+2)=-j,(x4)=一心+2)=f一祠/(幻是周期函数，4就是它的一个周期.(2)4是f(x)的一个周期./(5)=/(1)=-5,-1-1A/(/(5)=y(-5)=/(-i)=/(_1+2)=j