齐次化原理的应用毕业论文.docx

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1、齐次化原理的应用毕业论文目 录第1章 绪论错误！未定义书签。1.1 齐次化原理错误！未定义书签。1.2 论文研究的主要内容及意义1第2章 常微分方程的求解与齐次化原理的应用32.1 用常数变易法求解一阶线性非齐次微分方程32.2 齐次化原理与一阶线性微分方程的求解42.3 齐次化原理的推广62.4 小结7第3章波动方程的求解与齐次化原理的应用83.1 初值问题的求解83.1.1 齐次初值问题的求解83.1.2 非齐次初值问题的求解与齐次化原理的应用103.2 初边值问题的求解143.2.1 齐次初边值问题的求解错误！未定义书签。322非齐次初边值问题的求解与齐次化原理的应用.错误！未定义书签。

2、3.3 非齐次边界条件下齐次化原理的应用203.4 小结20第4章 热传导方程的求解与齐次化原理的应用224.1 初值问题的求解224.1.1 齐次初值问题的求解224.1.2 非齐次初值问题的求解与齐次化原理的应用234.2 初边值问题的求解错误！未定义书签。4.2.1 齐次初边值问题的求解254.2.2 非齐次初值问题的求解与齐次化原理的应用274.3 其他边界条件下齐次化原理的应用294.4 小结31结论错误！未定义书签。致谢错误！未定义书签。参考文献错误！未定义书签。附录错误！未定义书签。西南交通大学本科毕业设计（论文）第1页第1章绪论齐次化原理可以广泛地应用于各种微分方程的求解中，研

3、究其在不同微分方程求解过程中的具体应用，有助于我们更好地求解微分方程。1.1 齐次化原理齐次化原理也称之为Duhamel原理，从物理的角度还可以称之为冲量原理，是法国分析学和应用数学家J.M.C.Duhamel提出的求解线性偏微分方程的一种方法。利用它可以使非齐次方程的求解归结为相应的齐次方程的求解，类似于常微分方程中的常数变易法。齐次化原理最初被广泛地应用于非齐次线性双曲型以及抛物型偏微分方程的求解中，对于数学物理方程等学科的研究具有重要意义。此后，齐次化原理被推广应用到了非齐次线性常微分方程以及常微分方程组的求解中。于是齐次化原理对于非齐次的常微分方程的求解也具有很大的研究意义。1.2 论

4、文研究的主要内容及意义本毕业论文主要围绕齐次化原理在各种微分方程求解中的应用来展开讨论。在偏微分方程中，波动方程与-= 3热传导方程% -= f以及调和方程= o是三个具有很强实际背景意义的二阶线性偏微分方程，研究这三类方程的求解对于整个偏微分方程都有着重大意义。而对于调和方程，一般都用G忆M函数对其进行求解，本文不予以讨论。在偏微分方程方面，本论文重点介绍齐次化原理在波动方程以及热传导方程的初值问题以及初边值问题求解过程中的应用。此外，对于波动方程、热传导方程的初值以及初边值问题的齐次情形，本文也给出了详细的求解过程。齐次化原理也是求解非齐次线性常微分方程的一种方法，于是本文也就常微分方程以

5、及方程组的求解与齐次化原理的应用进行了概要性的描述。本论文的主要内容共有3章，分别是线性常微分方程、波动方程以及热传导方程的求解与齐次化原理的应用。本论文第一章是绪论。第二章主要研究一阶线性常微分的求解与齐次化原理的应用。首先用最熟知的常数变易法求解一阶线性非齐次常微分方程，并在已知初值条件情况下，求出满足条件的解；然后用齐次化原理将已知初值条件的一阶线性非齐次方程的求解转化为相应的齐次方程来求解，最终得出非齐次方程的解。两种方法得出的结论是一致的。在这一章中，齐次化原理还被推广到了高阶线性常微分方程以及方程组的求解中。第三章是波动方程的求解与齐次化原理的应用。本章主要论述了波动方程初值问题以

6、及初边值问题的求解。在初值问题的求解中，首先运用达朗贝尔解法给出齐次方程的求解，并得出了达朗贝尔表达式。在非齐次初值问题中，引出并证明了齐次化原理，然后应用齐次化原理将非齐次方程转化为齐次方程进行求解，然后根据叠加原理最终得出了非齐次方程的解，并对其进行了验证。类似于初值问题，波动方程的初边值问题也是首先求出齐次方程的解，用的是分离变量的方法。对于非齐次方程，也是利用齐次化原理进行了转化，最终得出非齐次方程的解，并进行了验证。本章的最后还对非齐次边界条件的非齐次方程的求解与齐次化原理的应用进行了概要性讨论。第四章主要论述的是热传导方程的求解与齐次化原理的应用。对于热传导方程，一般是利用傅里叶变

7、换来求解的，但是对于非齐次的情形，傅里叶变换则显得颇为复杂，于是本论文利用齐次化原理对其进行求解，简化了求解过程。对于热传导方程的齐次初值问题本论文利用傅里叶变换得出解的表达式，进而求解非齐次初值问题时，引入齐次化原理并对其进行验证，证明齐次化原理在热传导方程求解中依然成立，然后利用齐次化原理得出了非齐次方程的解。对于初边值问题，类似于波动方程，运用分离变量法对齐次问题进行了求解，再利用齐次化原理得出非齐次情形的解。本章的最后也对在其他边界条件下齐次化原理的应用进行了简要的论述。本论文对齐次化原理的应用进行了详细的研究与归纳，基于本身知识的欠缺，本论文肯定存在一定的不足，但是对于齐次化原理在线

8、性常微分方程（组）以及波动方程、热传导方程的求解中，本论文还是有着重要的研究价值与实际意义的。西南交通大学本科毕业设计(论文)第3页第2章常微分方程的求解与齐次化原理的应用常微分方程在整个数学学科中，占据着极其重要的地位，在现实生活中，存在着大量满足常微分方程的数学模型，人们可以通过应用这样的模型来解决未知的问题。所以常微分是可以解决很多实际问题的一种重要工具。这样的一种性质，直接决定了掌握常微分方程求解方法的重要性。常微分方程一般可以分为线性以及非线性微分方程，本章就线性微分方程的求解与齐次化原理的应用进行讨论。本章首先运用常数变易法求出一阶线性非齐次微分方程的通解以及在已知初始条件情况下满

9、足方程的特解，然后引出齐次化原理再予以证明，随后运用齐次化原理求出满足方程以及初始条件的解，两种方法得出的结论是一致的。最后将齐次化原理进行推广，将其应用到了高阶线性非齐次微分方程以及线性方程组的求解中。2.1 用常数变易法求解一阶线性非齐次常微分方程常数变易法是求解线性非齐次常微分方程最常用的一种方法，具体过程是在求出相应的齐次方程通解后，再将齐次方程通解中的常数变易为待定函数，最后得出满足非齐次方程的通解。下面，我们用常数变易法求解一阶线性非齐次常微分方程。一阶线性非齐次常微分方程具有以下形式，” = P(x)y+QQ)(2.1.1)ax其中，P(x),Q(x)是x的连续函数。首先求出齐次

10、方程半=P(x)y的通解。dx通过分离变量，得到空=P(x)公，y两边积分，ln|y| = JPOMr + e ,其中5为任意常数。于是，y =,令土二C,得到(2.1.2)p(x)dxy = ceJ其中。为任意常数。下面运用常数变易法，求解非齐次方程(2.1.1)的通解。在(2.1.2)中，令常数c变易为x的函数c(x),于是可得到对其进行微分，可得/、p(x)dxy = c(x)eJdy _ dc(x) jp(x)dxdx dx+ c(x)P(x)eP(x)dx(2.1.3)(2.1.4)把(2.L3)及(2.L4)代入到(2.L1),即得到dc(X)f P(x)dx /、八/、P(x)d

11、x -、/、P(x)dx+ c(x)P(x)(?J= P(x)c(x)d + Q(x),dx即也2=。(女中,dx两边积分后，得C(x) = J。(尤)-jp(x)dvdx + c ，把得到的。(x)代入(2.1.3)就可得到方程(2.1.1)的通解,(2.1.5)P(x)dx C- P(x)dxy = eJ (I Q(x)e J dx + c)其中E为任意常数特别的，如果方程(2.L1)给出了初始条件)，() = %,则满足这个初始条件的解为，f P(t)df ( Cx-P)西 z 、=% + QQ)e % dt .(2.1.6) /2.2 齐次化原理与一阶线性非齐次微分方程的求解在上一节中

12、，我们用常数变易法求解出了一阶线性非齐次微分方程包= P(x)y + Q(x)的通解，并求出了满足初始条件y(%) = %的解。下面我们引出齐次dx化原理，并用其求解满足初始条件y(x0) = %的一阶方程半=P(x)y + Q(x)的解。dx第5页(2.2.1)(2.2.2)(2.2.3)(2.2.4)(2.2.5)(2.2.6)(2.2.7)西南交通大学本科毕业设计(论文)齐次化原理若y(xj)是齐次方程?= P(x)y. axe=QQ)的解，那么力则是非齐次方程%dy=P(x)y + Q(x)* axy(%) = o的解。下面验证齐次化原理是成立的。在方程(2.2.1)中，由也= P(x

13、)y,容易得出dxP(x)dxy = cd令x) = J0公，代入(2.2.3)即可得至口)，=。*外并由方程(2.2.1)的初值条件可知，c = Q(t)e于是方程(2.2.1)的解为y(x,Z) = Q(x)设方程(2.2.2)的解y(x,t)dt = er(x)X Q(t)e-r(ndtJ.%于是,/(x) =Qe9)dt + er(x)Q(x)e-r(x)= P(x)y + Q(x)于是，这就证明了y(x)=y(x,t)dt =Q(t)e-r(t)er(x)dt =QQ) J“力 (2.2.8)J,%JxqJ,%是方程(222)的解，且满足y(%) = 0。证明完毕。西南交通大学本科毕

14、业设计（论文）第7页根据叠加原理，我们把方程(2.2.1)与(2.2.2)的解叠加起来便成为了方程半= P(x)y + Q(x)dx的通解，即y = cerx +QQ) J 力%于是我们就可以得到方程罂+ (2.2.9)、(%) = %的解为，y = y()exp( P(J)dJ) + QQ) exp(P(J)dJ)力= exp( P(J)dJ)o+ Q(，)exp(-J： P(J)西)力)(2210)对比用常数变易法求出的结论(2.1.6)与用齐次化原理得出的结论(2.2.10),我们可以看到两个结果是相同的，故这也证明了齐次化原理在一阶线性常微分求解中是可行的，而且比起常数变易法，齐次化原理要更简单直接。2.3齐次化原理的推广齐次化原理不仅仅可以用于求解一阶线性非齐次微分方程，还可以应用于高阶线性非齐次微分方程以及方程组的求解。本节将概要介绍齐次化原理在高阶线性非齐次微分方程以及高阶线性非齐次方程组求解过程中的应用。1)若y(x)是方程严)+ q+ % (幻/一2, + + an_ (x)y + aHy = 0小尸儿=尸.,=/一2)仁=。的解，则力就是严 +4 (x)产)+4。)/一 2 + +q(x)y+%y = .f(x)y x=.ro=y.r=M