抽象函数奇偶性对称性周期性和三角函数常用结论.docx

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1、抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念：抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值，特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点，由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体，因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于(x)定义域内的每一个X,都存在非零常数7,使得(x+7) = (x)恒成立，则称函数/*)具有周期性，7叫做(x)的一个周期，则ZT (AeZ,Z()也是/(幻的周

2、期，所有周期中的最小正数叫了(元)的最小正周期。分段函数的周期：设y = (x)是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:y = /(x),xa,bT = h-ao把y = (x)沿x轴平移KT = KS-)个单位即按向量 = (N,O)平移，即得= (x)在其他周期的图像:y = fx-kT),x kT-ir a,kT-irb o(x)= ,U)xa,bf(x-kT) xkT + a,kTb2、奇偶函数:设 V = (x), x a,hx -一司 U a,b若(-x) = 一 (x),贝I称y = (x)为奇函数；若f(-x) = (x)则称y = /5)为偶函数。分段函数的奇偶性3、函数的对

3、称性：(1)中心对称即点对称：点(x, y)与3(2 - x,2b - y)关于点(。,)对称；点A( -x,b- y)与倒。+ x,Z? + y)关于(。,)对称；函数y = f(x)2b -y = (2q-x)关于点(,b)成中心对称；函数y = /(。-工)与/? + 丁 = (+ x)关于点(4,/?)成中心对称;函数/(羽丁)= 0与尸(24-工,20-丁)= 0关于点(4/)成中心对称。(2)轴对称：对称轴方程为：A+By+C = ()o 点A(x,y)与3(f, V) = 85 244：+C) _ 2S(U+ B+ C)关于A+8 A +B直线Ax + Bv + C =。成轴对称

4、;函数y = /与y_2W+叱+C)=24”+叱+O)关于直线,4十A-+3Ax+3y+C = 0成轴对称。F(x, y) = 0与尸(尤-242叱+。,尸28(4：+/+。)=。关于直线A- +8/T +8“Ax+By+C = O成轴对称。二、函数对称性的几个重要结论(一)函数y = (x)图象本身的对称性(自身对称)若.f(x+a) = f(x b),则 f(x)具有周期性;若 f(a + x) = f(b - x),则 f(x)具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。1、%+止f(b ) = y =2)图象关于直线X * + U S 一 X)咛对称推论L 3 + x) = (a-

5、尢) y = f(x)的图象关于直线x =。对称推论2、f (%) = f(2a - x) o y = (x)的图象关于直线x =。对称推论3 f(-x) = f(2a + x) y = (x)的图象关于直线x =。对称2、f(a + x) + f(b -x) = 2c o y = (x)的图象关于点(巴产,c)对称推论1、f(a + ) + f(a-x) = 2h =y = J(x)的图象关于点(,份对称推论 2、/(%) + f(2a -x) = 2b y = (x)的图象关于点(a,b)对称推论 3、(-) + f(2a + x) = 2Z? , = (x)的图象关于点(。,6)对称(二

6、)两个函数的图象对称性(相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)1、偶函数y = (x)与y = (-x)图象关于Y轴对称2、奇函数y = (x)与y = -/(-外图象关于原点对称函数3、函数y = f(x)与y =-/图象关于X轴对称4、互为反函数y = (x)与函数y =.尸(x)图象关于直线y = x对称h c5.函数y = fa + x)与y = f(Jb - x)图象关于直线x =对称推论1:函数y = f(a + x)与y = f(a - x)图象关于直线x = 0对称推论2:函数y = (x)与y = f(2a - x)图象关于直线x = a对称推论3:函数y = f

7、(-x)与y = f(2 + x)图象关于直线x = -a对称()抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质1若函数y = f(x)关于直线x=a轴对称，则以下三个式子成立且等价：(1) f(ax) =f(ax) (2) f(2ax)=f(x) (3) f(2ax) =f(x)性质2若函数y = f(x)关于点(a, 0)中心对称，则以下三个式子成立且等价:(1) f(a+x) = f(ax) (2) f(2ax) = f(x) (3) f(2a+x) = f( x)易知，y = f(x)为偶(或奇)函数分别为性质1 (或2)当a=0时的特例。2、复合函数的奇偶性定义1、若对于定义域内的

8、任一变量X,均有fg()=fg(),则复数函数y=f g()为偶函数。定义2、若对于定义域内的任一变量,均有fg(x) =fg(x),则复合函数y = f g()为奇函数。说明：(1)复数函数fg()为偶函数，则fg()=fg()而不是fg()=fg(x)复合函数y=fg()为奇函数，则fg(x)=-fg()而不是fg() = -fg()o(2)两个特例：y=f (x+a)为偶函数，则 f (x+a) =f (x+a) ； y=f (x+a)为奇函数，则 f (x+a) =f (a+x)(3) y=f(x+a)为偶(或奇)函数，等价于单层函数y=f(x)关于直线=a轴对称(或关于点(a, 0)

9、中心对称)3、复合函数的对称性性质3复合函数y = f(a+x)与y = f(b x)关于直线x= (b-a) /2轴对称性质4、复合函数y = f (a+x)与y=f (b x)关于点(ba) /2, 0)中心对称推论1、复合函数y = f (a+x)与y = f (ax)关于y轴轴对称推论2、复合函数y = f (a+x)与y=f (ax)关于原点中心对称4、函数的周期性若a是非零常数，若对于函数y = f (x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y = f(x)是周期函数，且2 a是它的一个周期。f(x+a) =f(xa)f(x+a) = -f(x) f (x+a) =lf

10、 (x) f (x+a) = 1/f (x)5、函数的对称性与周期性性质5若函数y = f(x)同时关于直线x = a与x = b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T=2a-b性质6、若函数y = f (x)同时关于点(a, 0)与点(b, 0)中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T = 2a-b性质7、若函数y = f(x)既关于点(a, 0)中心对称，又关于直线x = b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T = 4|ab6、函数对称性的应用(1)若y = (x)关于点(z,Z)对称，贝!jx + x = 2z,y + y = 2Z,即(x) + ( ) = (x) + (2 -

11、x) = 2k(x1) + (x2 )- () + f(2h -xrt) + f(2h - xrt,1) + + (2-x1) = 2nk(2)例题1、(x)= 优 L 关于点(LL 对称：(x) + (l-x) = hax +6z2 24v -1f(x) = - 2x +1 关于(0,1)对称：(x) + f(-x) = 2(x) = (Rx0)关于对称：/ (x) + /(-) = 1x +12 2x2、奇函数的图像关于原点(0, 0)对称：f(x) + (-x) = 0 o3、若f(x) = f(2a- x)或-x) = fa + x),贝8=(x)的图像关于直线x =。对称。设/。)

12、= 0有个不同的实数根，则玉 +工2 +一 + 居=九1 +(2-x1) + x2 +(26z-x2) + + xzj + (2t7 -xfl) = na.(当/2 = 2k +1 时，必有xl = 2tz-xl,=x1 = a)(四)常用函数的对称性三、函数周期性的几个重要结论1、(xT) = (x)( T0) Uy = ()的周期为 T, ZT(ZZ)也是函数的周期2、(x + ) = (x + b)O y = /(工)的周期为丁 = h-a3、(x + ) = -(x)0 = /1)的周期为7 = 2。4、乙、1/( + ) = -77-f(x)0 = /(不)的周期为7 = 2。5、/

13、 、 1(+6z) = -(x)Uy = ()的周期为7 = 26、 1-7U(x + Q) = 177T1 + (x)oy = (x)的周期为丁 = 3a7、，/ 、 1( + 6r) = -_f(x) +1=)，=/3的周期为丁 = 28、(x + tz) = 1 + /(A) Uy=八九)的周期为 T = 441-()9、f(x + 2a) = f(x + a)-f(x)= y = /(%)的周期为丁 = 6a10、若 p0厅(px) = 则丁 = 11、y = (x)有两条对称轴 x = Q 和 x = b (。)0 y = (x)周期 7 = 2(b - a)推论：偶函数 y = (

14、x)满足 f(a + x) = f(a-x) y = (x)周期T = 2a12、旷=/(九)有两个对称中心(。,0)和3,0) (ba) oy = (x)周期T = 2g-a)推论：奇函数 y = (x)满足 (4 + x) = (-x) y = f(x)周期 T = 4413、y = (x)有一条对称轴x = q和一个对称中心S,0) Sq)o (x)的T = 4(b-)三角函数公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin (2k + ) =sin a (kZ) cos (2k + a ) =cos a (kZ)tan (2k + a ) =tan a (kZ)cot (2k + a ) =cot a (kZ)公式二：设为任意角，n+ 的三角函数值与的三角函数值之间的关系:sin ( + a ) = sin a cos (冗 + a ) = -cos a