2 对偶空间.docx
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1、2对偶空间设V是数域P上一个维线性空间.丫上全体线性函数组成的集合记作L(V, P).可以用自然的方法在L(V, P)上定义加法和数量乘法.设,g是丫的两个线性函数.定义函数 + g如下:( + g) = () + g(), a eV. + g也是线性函数:(/ + g)( + /?) = f(a + ) + g(a + )=/(。) + /(/?) + g() + g()= ( + g)(a) + ( + g)(),(/ + g)(%) = f(ka) + g(ka) = kf(a) + kg(a) = k(f + g)().于+ g称为f与g的和.还可以定义数量乘法.设/是V上线性函数,对
2、于P中任意数3定义函数如下:(kf)(a) = -(a), V,称为女与/的数量乘积,易证也是线性函数.容易检验,在这样定义的加法和数量乘法下,L(V,P)成为数域P上的线性空间.取定丫的一组基”名,,J,作丫上个线性函数力,人,,力,使得(%) = : : z,7=1,2,2,O,Jz,因为力在基,J,%上的值已确定,这样的线性函数是存在且唯一的.对丫中向量。=再与,有/=1即力9)是。的第,个坐标的值.f.(a) = xi,(2)引理对V中任意向量。,有a =(3)f=l而对L(V,P)中任意向量了,有 = ()Z(4)/=1定理2 匕尸)的维数等于丫的维数,而且力,力,,/是MRP)的一
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