等差数列习题课教师版公开课教案教学设计课件资料.docx

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1、等差数列习题课基础回归1 .等差数列的有关概念(I)定义：如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的差都等于，那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为(N d为常数).(2)等差中项：数列g, A,8成等差数列的充要条件是,其中A叫做m 人的等差中项.2 .等差数列的有关公式(1)通项公式：Qn= 41 + (-l)t ；(2)前几项和公式：Sn= 砌1+验Fd = 四j.3.已知数列斯是等差数列，S”是其前项和.(1)通项公式的推广：anam+(n-m)d (, mN*);(2)若左+/=机+(左，I, m, N*),则公+。/=。+斯；(3)若斯的公差为d,贝U42也是等差数列，公差为2d；(

2、4)若儿是等差数列，则p斯+也是等差数列；(5)数列5w, S2mSm9 N祖一构成等差数列.4.关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质(1)若项数为2%则S偶S奇=温,；3 偶 Cln+1S奇Tl(2)右项数为2九一1,贝US偶=(一1)斯，S奇=HafI, S奇一S偶=斯，c = 1.3偶 15 .两个等差数列斯,电的前几项和S，7；之间的关系为A=,.12n-l Dn6 .常用结论(1)已知数列念的通项公式是斯=p+以其中p, 4为常数)，则数列斯一定是等差数 列，且公差为P.(2)数列斯是等差数列等价于S=A+Ez(A, B为常数)，其公差d=2A(3)在等差数列斯中,6Z1O, d0,

3、则当存在最大值；若m0,则S存在最小值.激活思维1 .等差数列一5, -9, 13,.的第100项是(C )A. -393 B. -397 C. -401 D. -405【解析】由41 = 5, d=9 (5)=4,得这个数列的通项公式为念=54(九 1）=-4-1,所以 Qloo=4X1001 = 401.2 .设等差数列斯的前几项和为a,若s = 5, $9=27,则wo等于（B ）A. 17 B. 18C. 19 D. 20【解析】由等差数列的前项和公式可知S9= 当丝=905 = 27,解得怒=3.又由d= 受号=M= 1，所以由等差数列的通项公式可得Q20=Q5+ 15d=3 +15

4、1 = 18./J23 .在数列斯中，已知的=2, 67=1,若强为等差数列，则恁等于（C ）2343A. w B. 2 C. Q D. a【解析】 由为等差数列，得:+J = 2J,代入43=2, 7=1，得。5=*4 .（多选）已知在等差数列斯中，4+。8 = 20, 47 = 12,贝U（ ABD ）A.（26=10 B.公差 d=2 C. a=2n D. 5o=9O【解析】设等差数列念的公差为d,因为4+。8 = 26=20,所以46=10，所以A正 确；因为 2=。7。6=1210 = 2,所以 B 正确；由 47 = 4 + 6d=4 + 6x2 = 12,得。=0, an =m

5、+ 5l）d=0 + 5l）x2 = 25l）,所以 C 错误；由 Qlo=2（101）=18,得 Slo=2要2 10=90,所以D正确.5 .（多选）已知等差数列斯中，Q4 = Iwo,公差d0,则使其前八项和工取得最大值的 自然数孔的值是（CD ）A.4 B. 5 C. 6 D. 7【解析】因为d0,则数列斯为递减数列，由Ml = Ialol可得。4=一Qio,则纵+。=nn-ldnn Id n213n d2。7 = 0，所以 + 6J=0,贝U S =-6/ Sn=na+=-6nd+= d=Q一号2啜，所以当=6或7时，S”取得最大值.举题说法等差数列的基本量运算例1 (1)(2022

6、.三明模拟)已知等差数列斯的前项和为且念+怒=14, S3=一 39,则 So=( B )A. 6B. 10 C. 12D. 20【解析】设等差数列斯的公差为d,则2+5=2ai+5d= -14, S3 = 3s+3d= -39, 贝Jd=4, S = 17,贝IJSIo=IOX(17)+45x4= 10.（2）已知等差数列斯的公差d0,前项和为若S5=lQ6,则当S最大时，n（D ）A. 8B. 9 C. 7 或 8 D. 8 或 9【解析】 方法一：由$5 = 1046，得5X01+4d= 0（Q + 5菊,解得Ql = -8d,所以当 =i+55l）d=。一号2.因为do,所以当=8或9

7、时，S九最大.方法二：因为 S52= 2=53，所以 53 = 10。6，所以 5（m+26/） = 10（41+5d）,化简可得m + 8d=0,即49=0.因为d0, 580, S80,Q4 = 41 + 3d0,。4+。5=2i+7d0因为 S8 = 8。1= 4（4 + 5）0，所以 5 一。40，所以 d=a5a40,所以解得一呆号LCd/X 乙J等差数列的常见性质例2 （1） （2023佛山禅城期初）若斯是等差数列，且2,。2 022是方程%24%+3=0的两个根,则2版2咳2吗x2023 = （ c ）A. 4 046B.4 044C. 24046 D. 24044【解析】因为2

8、，。2022是方程%2 4%+3=0的两个根，所以。2 +。2022 = 4,所以41 +所以 2a2a22as. 2a2 023 =l l ,2 023。1 +。2 023 2 0232 +。2 022 ,八”2 十 3 十十 2 023 =55= 4 046， 2。1 +。2 +。3 + +。2 023 = 24 046.(2)设&是等差数列斯的前项和，若N = K S9=6t,则螳等于(A )a- W B- 30 8 D- 9【解析】在等差数列斯中，S3 = %, Sg = 6t,因为S3, 56-S3, S9S6, S12S9成等差 数列，所以 2(S6S3)=S3+(S9S6), 2

9、(59-S6)=(S6-S3)+(Si2-59),所以 S6=3i, Sn=IOt,(3)已知等差数列斯与瓦的前项和分别为S与几，且满足关=黑|，则等于(D )a 23- 5-43A. JgB. 2C. 1D 乳q 5n2【解析】因为等差数列斯与为的前项和分别为S与，且满足关=市”，所以95 25,+9，9 s9 5x92 435 2。5 19 9Tg 394 321十仇V总结提炼A对于数列，如果利用性质能解决的问题，那么通过基本量运算也能解决，但是通过观 察吓标”“系数”之间的特点，利用恰当的性质可达到简化运算的目的.1. (2022广州二模)已知数列斯是等差数列，且公+恁+恁=兀,则tan

10、(1+9) = ( D )A. 3B.当 C. 一坐D. 一小Ir【解析】因为数列斯是等差数列，且2+。5+。8 = 35=兀，所以。5=7所以tan(m +9)tan25 = .2 .已知等差数列斯中，。1+。2+。3=4, Qi3+14+m5 = 12,则的+圆+他等于(C )A. 6 B. 7 C. 8D. 9【解析】因为等差数列中，。1+。2+的=4, a13+al4+a15 = nf且每相邻三项的和 仍是等差数列，所以设新等差数列的公差为d,则12=4+4d,所以d=2,所以7+。8+。9 =4 + 2d=8.3 .已知某等差数列共20项，其所有项的和为75,偶数项的和为25,则公差

11、为(C )A. 5 B. -5 C. -2.5 D. 2.5【解析】易知20项中奇数项有10项，偶数项有10项，S奇+S偶=75, S偶=25,所以S 奇=50,故 S 偶一S 奇=(02+04+。2。)一(ai+s +。19)= 1Od= -25,解得 d= -2.5.】等差数列的判定与证明例3 （2022莆田二模）已知数列斯, 满足。1 = 3,斯+1 = 3斯+3+,仇=竽，求证： 数列瓦为等差数列.【解答】由题意 = 3,念+ = 3念+3#1,两边除以S得储=竽+1,即d+1 为=L所以数列为是首项%=l=l,公差为1的等差数列，所以劣=几总结提炼A证明数列为等差数列的方法中最常用的

12、有两种，一是定义法，二是等差中项法.变式1 （2022.沈阳三模）设各项为正数的数列念的前n项和为,数列S的前n项 积为，且S+2G=1,求证：数列;已是等差数列.【解答】当 =1 时，5+2T = l,即 S+2S = l,贝Us=g.当2 时，由%+2=1,得卢+231,所以1一六=2,所以数歹U昌是以=3为首项，2为公差的等差数 T-i1 Tn-I功 11 a列.变式2已知正项数列斯的前n项和S满足斯（2S一斯）=15N*）.（I）求证：数列S是等差数列，并求乂的表达式；【解答】依题意，在正项数列念中，况=1,即Ql = I.当孔2时，aS-S-,即（S一ST）2S一（S一S） = l,整理得能一Sli = I.又4=届=1,所以数列S订是以1为 首项，1为公差的等差数列，所以或=儿因为数列斯是正项数列，所以S=g.（2）数列斯中是否存在连续三项以，诙+1，血+2，使得;，一，一构成等差数列？请ak ak+i 隙+2说明理由.【解答】数列斯中不存在连续三项的研2,使得5 A 土构成等差数列.理由如下：当2时，an=Sn-S-=yn-n-l,因为勾=1,即VN*,都有斯=yn-l-l,所以; ay7yn 1假设数列念中存在连续三项 ak，1，Cik+2，使得J，一，一构成等差数列，则2（出+1+曲=#+出1+q左+2+q左+1,即yk- 1 + yky