专题6 第9讲抛物线的焦点弦问题.docx

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1、第9讲 抛物线的焦点弦问题直线与抛物线相交的问题，若直线过抛物线的焦点，可使用焦点弦长公式求弦长，利用焦点弦的特殊结论求解题目.例1 (l)(2020石家庄模拟)已知尸是抛物线)2 = 2/S0)的焦点，过产的直线与抛物线交于A,8两点,A8的中点为C,过。作抛物线准线的垂线交准线于C,若CC的中点为M(l,4),则p等于()A. 4 B. 8 C. 42 D. 82答案B解析如图,设A(x, y), 8(X2,闻，.M(1,4),)，|+以=8,代入V=2p,得 y2py-p2=0,y+,2=p=8.过抛物线丁2=以的焦点产的直线/与抛物线交于4 8两点,若依用=2|明,则履用等于()9A

2、4 B - C. 5 D 6答案B解析不妨设点A在x轴的上方，如图，设A, B在准线上的射影分别为), C,作BELAD于点E,设5Fl=m,直线/的倾斜角为仇则 AQ = 2z, AB=3m,由抛物线的定义知AD = AF=2m, BC = BF=m,所以 cos。=携所以 tan =2y2.Q则 sin20=8cos20,所以 siMe=g.2n 9由V=4,知2p=4,故利用弦长公式得股=弱=京例2已知抛物线C )2=8x, P为C上位于第一象限的任一点，直线/与。相切于点P,连接PF并延长交C于点过P点作/的垂线交C于另一点N,求APMN的面积S的最小值.解 由题意知尸(2,0),设P

3、g yo)(yoO), 喂，y),M,凡)，切线/的方程为-o=t(y-yo),则由=停一2, y，FP=(f-2,)；(),由M, F, P三点共线，可知而碎,即停-2)州-曾-2| =(),因为泗Wy,所以化简可得)梦1 = 一16.-o=t(y-yo).y2=8,可得 y28ty8tyo-8xo=0,因为直线/与抛物线相切，故/=64F32)o+4y8=O,故所以直线PN的方程为yyo= -1(x-%(),即 yx+4y-4加一?=(),所以点M到直线PN的距离为+4y,-4y0-fd=r-,16将M=一乎代入可得)0/柒伙+部_侪+16)2yyi+68 ,oh6+16，Vox+4y_4

4、yoW=0,联立*8 消去可得，J2=8x,yoy2 32 yW3 2y()=0,3232所以划+”= 一三，J2=-yo,=Me=,+露故 S=elPN1、，()0+16)2 - 2(y8+16+16- 2 8yoM+16的此时，尸MN的面积S取得最小值，为64.能力提升-设A3是抛物线)2 = 2p(p0)的一条焦点弦，焦点为 A(x,)“)，3(孙丁2),则(1 )X1X2= 4，W=-p-西十1 _2BFP(3)H3=前j为弦AB所在直线的倾斜角).。跟踪演练1.设厂为抛物线C： V = 3的焦点，过尸且倾斜角为30。的直线交C于A, 8两点，。为坐标原点，则4QAB的面积为()a 3

5、3 r,93 - 63 - 9a 4 8c32 d4答案D解析 由已知得焦点为尼，0),因此直线A8的方程为y=r即4x45y-3=0.方法一联立直线方程与抛物线方程，化简得 4t2 123y9=0,故 yAy=Y%+yB)2-4)8=6.因此 S0-y=1 1 6=21921方法二 联立直线方程与抛物线方程得X2yx=0,故xa+xb=.2Io221 3同时原点到直线A8的距离为d=42+(-43)2 8根据抛物线的定义有H8=如+他+=号+=12,答案解析抛物线C： V=8x的焦点为F(2,0),2 .过抛物线V=2p(p0)的焦点尸且倾斜角为120。的直线/与抛物线在第一、四象限分别交于

6、A, B两点,则需的值等于()a3答案A解析记抛物线y2=2px的准线为,如图，作AJL , 8SJJ , AC!,垂足分别是 4, , C,则BVzdd BC m-AAcosZBB-ll- hf+bqF-F= AF + BFzBm=iBF-33 .已知抛物线C )*2=8x的焦点为R点M(-2,2),过点尸且斜率为人的直线与。交于A,B两点,若NAM8=90。，则攵等于()A.2 B.乎 C. D. 2由题意可知直线A3的斜率一定存在,则 Xl+%2=4+,8所以设直线方程为y=k(x-2)(k0)f代入抛物线方程可得k2x2(4k2 + 8)x+4Z:2=0,设 A(x, %),吠及,2)

7、,所以y+y2=%, ,j2=-16,因为 NAM3=90。，所以 M1M万=3+2, y-2)(x2+2,户-2)=矍一牛+4=(),解得左=2,故选D.4 .如图，已知点F(1,O)为抛物线V=2pMp0)的焦点，过点尸的直线交抛物线于A, B两点,点C在抛物线上，使得aA3C的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q,且。在点F右侧,记aCQG的面积为S, S2.(1)求p的值及抛物线的准线方程；(2)求普的最小值及此时点G的坐标.解 由题意可得3=1,则p=2,2p=4,抛物线方程为V=4x,准线方程为x=-l.(2)设 A(x, ), 8(X2, ),直线A8的方程为y=M-l), Q0

8、,与抛物线方程V=4x联立可得，-2一(2F+4)+F=o,4故即+12 = 2 + 9，XX2=1,yy= -4xj4=-4,设C（X3,巾），由重心坐标公式可得xi+.r2+x3 1 , ,八XG_ 3_?（2+/+到，加=吐吐4R 4令3G = 0可得,3=-p 则依=号=后，即 xg=|(2+1+3=1(2+制由斜率公式可得,-=总=墨=/,4 44直线AC的方程为yy3=-(工一修)，令y = 0,可得出气+ 一吗+刈=+ 吗垃一竽故 Si=(xg-xf)i= 3(2+)-1 x x f3),且 S2= (xq-xg) (y?)=-1-K2a由券=一与代入上式可得$2=锻一/给，4由 y+y2=%, yi”=-4 可得y-y则人泰5二己义(甫5_ 2)论2)、5z 26,i_2_ 8 A 6-4)(y,4)A-3-32J=2-48-8)+-+16沁一 I 4 48 2h-8)X /+16当且仅当）彳-8 =）二g,即y?=8+4小，=加+爽时等号成立，此时攵=）；3=6，xg则点G的坐标为（2,0）.