24.1.2 《垂直于弦的直径》教学设计.docx

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1、人民的创造智慧.它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m,拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m,问题：你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题.【设计意图】从学生熟悉的历史事物中提出问题、设置悬疑、激发学生的学习兴趣.让学生体会生活中数学随处可见，体验数学如何用来解决生活中的实际问题.（二）自主探究，构建新知L实验探索：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？2 .引导思考：因为我们制作难免有误差，如何证明呢？师：我们在作点关于直线对称时，方法是作垂直，延长截取相等，那轴对称么图形，可以在圆上任

2、取一点4作垂线，证明相等.生1：连接。八、04得至J等腰aow4 ,即CM = OA.因CO_LAA,都噩直角三角形，又0M为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM = M 师：有没有其它的证明方法呢？生2：利用等腰40A8三线合一的性质.3 .总结规律：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；或经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴.【设计意图】让学生去证明自己的发现，培养学生养成严谨的思维习惯；通过让学生试猜想、类比、探索和证明获得新知，力解印象圆心的任意一条直线都是它的对曲轴提出问题，多种方法证明，发散思维（三）循序渐进，发现定理L提出问题：运用几何画板展示在上述的操作过程中，

3、你发现了哪些相等的线段和相等的弧？为什么？_4 .引出定理：AM= BM, AC= BC, AD = BD引导学生归纳垂直于弦的直径（垂径定理）的性质：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧：问题：此定理的条件和结论分别是什么？引导学生分析垂径定理的条件和结论如下：题设结论（1）过圆心（2）平分弦（3）垂直于弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧5 .深入探讨：思考:若将题设中垂直于弦与结论的平分弦交换后，命题还成立吗？ 即：当直径CD平分弦项时，CD与48垂直吗？平分48所对的弧吗？引导学生归纳垂直于弦的直径（垂径定理）的推论，并分析出题设于结论：垂径定理的推论：平分

4、弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.题设结论（1）过圆心（2）平分弦（3）垂直于弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧6 .拓展升华：讨论并验证五个条件中，任意选取两个作为题设，另外三个作为结论是否成立？过圆心、垂直于弦直径 平分弦1知二推三平分弦所对的优弧I平分弦所对的劣弧J7 .总结归纳：展示几种常见的垂径定理表现形式.图3【设计意图】引导学生通过“实验一观察一猜想”，获得感性认识，猜测出垂直于弦的直径的性质，从提出猜想到解决问题，环环相扣，形成知识体系，学生通过对定理推导，学生 自主探究，大胆求证猜想发展思维能力，归纳结果，垂径定理的推论，以及推广到普遍意义上

5、的知二推三，总结归纳常见的几种垂径定理的表现形式，并对定理的条件和结论有更深刻的理解和认识，在头脑中形成数学模型，从而得到研究数学的多种方法的体会，激发学生的求知欲望.（四）例题示范，强化认知1例期示范：如图4,在。0中，若弦AB的长为8cm,圆心0至J AB的距离为3cm,求0的半径.CAB0图4图5分析：因为已知“圆心0至J AB的距离为3cm”，所以要作蒯践0EJ_A8；因为要求半径，所以2 0A.解答过程由学生口述，教师板书.2 .变式练习：在图5中，若00的半径为10cm, OE=6cm,则八8=.3 .延伸思考：若圆的半径为R, 一条弦长为Q,圆心到弦的距离为d,则R、。、d三者之

6、间的关系式是.4 .解决导入问题实践应用：引导学生解决课堂开始前提出的问题，求出赵州桥主桥拱的半径.教师指出：欲解决此问题，需要根据桥的实物画出几何图形，可以发现，它具备圆中“垂直于弦的直径”出一些重要性质，理门可以将其转变为数学问题.如图6,用鼐表示主桥拱，设标所在圆的圆心为。，半径为R.经过圆心。作弦48的垂线OC,。为垂足，OC与48相交于点。，根据前面的结论，。是阳的中点，C是点，C。就是拱高.5 .方法总结：在学生发表见解的情况下总结归纳：（1）圆中有关弦、半径的计算问题通常利用垂径定理来解决.过圆心、垂直于弦直径 平分弦1知二推三平分弦所对的优弧I平分弦所对的劣弧J6 .总结归纳：

7、展示几种常见的垂径定理表现形式.图3【设计意图】引导学生通过“实验一观察一猜想”，获得感性认识，猜测出垂直于弦的直径的性质，从提出猜想到解决问题，环环相扣，形成知识体系，学生通过对定理推导，学生 自主探究，大胆求证猜想发展思维能力，归纳结果，垂径定理的推论，以及推广到普遍意义上 的知二推三，总结归纳常见的几种垂径定理的表现形式，并对定理的条件和结论有更深刻的理解和认识，在头脑中形成数学模型，从而得到研究数学的多种方法的体会，激发学生的求知欲望.（四）例题示范，强化认知1例期示范：如图4,在。0中，若弦AB的长为8cm,圆心0至J AB的距离为3cm,求0的半径.CAB0图4图5分析：因为已知“

8、圆心0至J AB的距离为3cm”，所以要作蒯践0EJ_A8；因为要求半径，所以2 0A.解答过程由学生口述，教师板书.2 .变式练习：在图5中，若00的半径为10cm, OE=6cm,则八8=.3 .延伸思考：若圆的半径为R, 一条弦长为Q,圆心到弦的距离为d,则R、。、d三者之间的关系式是.4 .解决导入问题实践应用：引导学生解决课堂开始前提出的问题，求出赵州桥主桥拱的半径.教师指出：欲解决此问题，需要根据桥的实物画出几何图形，可以发现，它具备圆中“垂直于弦的直径”出一些重要性质，理门可以将其转变为数学问题.如图6,用鼐表示主桥拱，设标所在圆的圆心为。，半径为R.经过圆心。作弦48的垂线OC

9、,。为垂足，OC与48相交于点。，根据前面的结论，。是阳的中点，C是点，C。就是拱高.5 .方法总结：在学生发表见解的情况下总结归纳：（1）圆中有关弦、半径的计算问题通常利用垂径定理来解决.过圆心、垂直于弦直径 平分弦1知二推三平分弦所对的优弧I平分弦所对的劣弧J6 .总结归纳：展示几种常见的垂径定理表现形式.图3【设计意图】引导学生通过“实验一观察一猜想”，获得感性认识，猜测出垂直于弦的直径的性质，从提出猜想到解决问题，环环相扣，形成知识体系，学生通过对定理推导，学生 自主探究，大胆求证猜想发展思维能力，归纳结果，垂径定理的推论，以及推广到普遍意义上 的知二推三，总结归纳常见的几种垂径定理的

10、表现形式，并对定理的条件和结论有更深刻的理解和认识，在头脑中形成数学模型，从而得到研究数学的多种方法的体会，激发学生的求知欲望.（四）例题示范，强化认知1例期示范：如图4,在。0中，若弦AB的长为8cm,圆心0至J AB的距离为3cm,求0的半径.CAB0图4图5分析：因为已知“圆心0至J AB的距离为3cm”，所以要作蒯践0EJ_A8；因为要求半径，所以2 0A.解答过程由学生口述，教师板书.2 .变式练习：在图5中，若00的半径为10cm, OE=6cm,则八8=.3 .延伸思考：若圆的半径为R, 一条弦长为Q,圆心到弦的距离为d,则R、。、d三者之间的关系式是.4 .解决导入问题实践应用

11、：引导学生解决课堂开始前提出的问题，求出赵州桥主桥拱的半径.教师指出：欲解决此问题，需要根据桥的实物画出几何图形，可以发现，它具备圆中“垂直于弦的直径”出一些重要性质，理门可以将其转变为数学问题.如图6,用鼐表示主桥拱，设标所在圆的圆心为。，半径为R.经过圆心。作弦48的垂线OC,。为垂足，OC与48相交于点。，根据前面的结论，。是阳的中点，C是点，C。就是拱高.5 .方法总结：在学生发表见解的情况下总结归纳：（1）圆中有关弦、半径的计算问题通常利用垂径定理来解决.过圆心、垂直于弦直径 平分弦1知二推三平分弦所对的优弧I平分弦所对的劣弧J6 .总结归纳：展示几种常见的垂径定理表现形式.图3【设

12、计意图】引导学生通过“实验一观察一猜想”，获得感性认识，猜测出垂直于弦的直径的性质，从提出猜想到解决问题，环环相扣，形成知识体系，学生通过对定理推导，学生 自主探究，大胆求证猜想发展思维能力，归纳结果，垂径定理的推论，以及推广到普遍意义上 的知二推三，总结归纳常见的几种垂径定理的表现形式，并对定理的条件和结论有更深刻的理解和认识，在头脑中形成数学模型，从而得到研究数学的多种方法的体会，激发学生的求知欲望.（四）例题示范，强化认知1例期示范：如图4,在。0中，若弦AB的长为8cm,圆心0至J AB的距离为3cm,求0的半径.CAB0图4图5分析：因为已知“圆心0至J AB的距离为3cm”，所以要

13、作蒯践0EJ_A8；因为要求半径，所以2 0A.解答过程由学生口述，教师板书.2 .变式练习：在图5中，若00的半径为10cm, OE=6cm,则八8=.3 .延伸思考：若圆的半径为R, 一条弦长为Q,圆心到弦的距离为d,则R、。、d三者之间的关系式是.4 .解决导入问题实践应用：引导学生解决课堂开始前提出的问题，求出赵州桥主桥拱的半径.教师指出：欲解决此问题，需要根据桥的实物画出几何图形，可以发现，它具备圆中“垂直于弦的直径”出一些重要性质，理门可以将其转变为数学问题.如图6,用鼐表示主桥拱，设标所在圆的圆心为。，半径为R.经过圆心。作弦48的垂线OC,。为垂足，OC与48相交于点。，根据前面的结论，。是阳的中点，C是点，C。就是拱高.5 .方法总结：在学生发表见解的情况下总结归纳：（1）圆中有关弦、半径的计算问题通常利用垂径定理来解决.