专题1.1 勾股定理中的最短路线与翻折问题 专项讲练（解析版）.docx

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1、专题Ll勾股定理中的最短路线与翻折问题专项讲练勾股定理中的最短路径问题几何体中最短路径基本模型如下:B、展开A甲乙圆柱长方体4匹蚂蚁HB蜂蜜将军饮马问题阶梯问题基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾 股定理求解。题型L圆柱有关的最短路径问题【解题技巧】计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最 短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需 要用底面圆周长的一半进行计算。要点总结:1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开一定点一连线一勾股定理的步骤进行计算;

2、2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。例1. （2022.山东青岛.八年级期末）如图，一个圆桶，底面直径为16cm,高为18cm,则一只小虫从下底点A处爬到上底5处再回到A处，则小虫所爬的最短路径长是（）（取3） 【分析】先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股 定理就可以求出其值.B. 40cm【答案】AC. 30cmD. 20cm【详解】解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知AB最短.由题意，得 AC=3xl62=24,在M中，由勾股定理，得AB = AC2+BC2 = 242+182 = 30cm. 一只小虫从下底点A

3、处爬到上底B处再回到A处, 最短路径长为60cm.故选：A.【点睛】本题考查了圆柱侧面展开图的运用，两点之间线段最短的运用，勾股定理的运用.在解答时将圆柱的侧面展开是关键.24变式1. （2022.吉林长春.八年级期末）如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB= cm,高BC=IOCm,在BC的中点尸处有一块蜂蜜，聪明的蚂蚁能够找到距离食物的最短路径，则蚂蚁从点A爬到点尸的最短路程【分析】化“曲”为“平”，在平面内，得到两点的位置，再根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可.【详解】将圆柱体的侧面展开，如图所示：A= 4底面周长=4xX12 (cm), BP=WBC=5 (cm), 227r2所以 A

4、尸=J122+52 =13 （cm）,故蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为13sz,故答案为：13.【点睛】本题考查最短距离问题，化“曲”为“平”，在平面内，利用两点之间线段最短和勾股定理是常用求解 方法.4变式2. （2022浙江金华初三月考）如图，圆柱底面半径为一cm,高为18cm,点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（）A. 24cmB. 30cmC. 221 cmD. 497 Cm【答案】B【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段 最短解答.【解析】解：

5、圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：ACCDDB;即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对44角线运动到B的路线最短；圆柱底面半径为一cm,长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2兀x=8Cn1；又.圆柱高为18Cm, J小长方形的一条边长是6cm；根据勾股定理求得 AC = CD=DB = IOCm； .*. AC+CD+DB = 30cm;故选：B.“二一【点睛】本题主要考查了圆柱的计算、平面展开一路径最短问题.圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长 方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高.本题就是把圆柱的侧面展

6、开成长方形，“化曲面为 平面”，用勾股定理解决.题型2.长方体有关的最短路径问题想【解题技巧】计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论。要点总结：1)长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前十上”和“左+上”三种情况进行讨论；2)两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。例2. (2021.陕西八年级期末)如图，长方体的棱AB长为4,棱BC长为3,棱BF长为2, P为HG的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体的表面爬行到点尸处吃食物，那么它爬行的最短路程是.【答案】5【分析】利用平面展开图

7、有3种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可.【详解】解：分三种情况：如图1, AP2 =(2 + 3)2+22 =29,如图 2, AP2 =(2 + 2)2+32 =25, AP=5,如图 3, AP2 =(2 + 3 + 4)2+22 =85 ,252985, A它爬行的最短路程为5,故答案为：5.【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有3种情况分析得出 是解题关键.变式1. （2022.重庆八年级期中）如图，长方体的底面边长是ICm和3cm,高是6cm,如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达8,那么用细线最短需要（）A. 12cmB.

8、 IOcmC. 13cmD. Ilcm【答案】B【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理 求出所需结果.【详解】解：如图，将长方体展开，连接A、B贝Ij A =1 + 3 + 1+3 = 8 （cm）, AB = 6cm,根据两点之间线段最短，由勾股定理得：AB,=AA,+AB,=8?+62= IO?Cnb所以AB，=IOcm.故选：B.【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，本题的关键是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，构造直 角三角形运用勾股定理解决.变式2. （2022.陕西咸阳.八年级期末）如图，在长方体的顶点G处有一滴糖浆，

9、棱AE上的P处的蚂蚁想沿 长方体表面爬到容器G处吃糖浆，已知容器长AB=5c机，宽AD=4c相， AE=4cm, AP=Icm,那么蚂蚁需爬行的最短距离是 cm.（结果保留根号）【答案】74【分析】求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果.PH=3+4=7 (cm), .*.PG= PH2 + HG1 = r72 + 52 = 74 (5);如图 2, PG= PF2+FG2 = (3 + 5)2+42 = 80 (cm)；如图3尸G= 1(5 + 4)2+42 = 国 (cm), 故蚂蚁需爬行的最短距离是旧。加.故答案为：74 .【点睛】本题考查了平面

10、展开-最短路径问题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解 答即可.题型3.阶梯中的最短路径问题【解题技巧】根据两点之间线段之和最小进行解决。要点总结：展开一定点一连线一勾股定理例3. （2021.重庆八年级期末）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8d机、3dm、2dm, A和B是 这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到 点B的最短路程为 dm.【答案】17【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答.【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm,宽为(2+3)x3加，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最

11、短路程是此长方形的对角线长.可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为Xdm, 由勾股定理得：2=82+(2 + 3)32=172,解得x = 17.故答案为：17.8【点睛】本题考查了平面展开一最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和 宽即可解答.变式1. (2022.山西八年级期末)如图所示，ABCD是长方形地面，长AB = 20,宽AD = I0,中间整有一堵砖墙高MN = 2, 一只蚂蚁从A点爬到。点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走()A. 20 B. 24 C. 25 D. 26【答案】D【分析】将题中图案展开后，连接AC,利用勾股定理可得AC长，将中间的墙展

12、开在平面上，则原矩形长 度增加宽度不变，求出新矩形的对角线长即为所求.【详解】解：展开如图得新矩形，连接AG则其长度至少增加2MN,宽度不变，由此可得：AB = 20 + 4 = 24, AD = 10根据勾股定理有：AC = AB2+BC = 242+10 = 676=26【点睛】本题考查平面展开图形最短路线问题以及勾股定理得应用；解题关键在于根据题意画出正确的平 面展开图.题型4.将军饮马与最短路径问题【解题技巧】解决线段之和最小值问题：对称+连线，根据两点之间线段最短解决。 要点总结：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。例4. （

13、2022.重庆初二月考）圆柱形杯子的高为18cm,底面周长为24cm,已知蚂蚁在外壁A处（距杯子上沿2cW 发现一滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿4mi）,则蚂蚁从A处爬到B处的最短距离为（）ZX 蚂蚁X 1B蜂蜜 .一、 K. 813B. 28C. 20D. 122【答案】C分析：将杯子侧面展开，建立A关于E方的对称点4,根据两点之间线段最短可知43的长度即为所求.【解析】如图所示，将杯子侧面展开,作A关于的对称点4,连接 Ag则 48 即为最短距离，AB= JA02 + Bif = J12? +16? =20 (Ca)故选 C. 点睛：本题考查了勾股定理、最短路径等知识.将圆柱侧面展开，化曲面为

14、平面并作出A关于的对称点4 是解题的关键.变式1. （2022.山东荷泽.八年级阶段练习）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该。型池可以看作是一 个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆，其边缘AB = CD = 20m.小明要在AB上选取一点,能够使他从点。滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他 滑行的最短距离约为（）m.（兀取3）A. 30B. 28C. 25D. 22【答案】C【分析】根据题意画出侧面展开图，作点C关于A5的对称点尸，连接OR根据半圆的周长求得BC,根据对称求得CF = 25C,在Rt尸中，勾股定理求得。咒.【详解】其侧面展开图如图

15、：作点。关于AB的对称点尸，连接。尸，中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5cm的半圆，.*. BC=R=2.5=r7.5cm, AB=CD=20cm, .*. CF=2BC=15cm,在HtACD尸中，DF= CF2+CD2 = 152 + 202 = 25cm,故他滑行的最短距离约为25Cm.故选C.【点睛】本题考查了勾股定理最短路径问题，作出侧面展开图是解题的关键.变式2.（2021.陕西长安.八年级期中）有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸,高AS = 60cm,水深AE = 40cm, 在水面线斯上紧贴内壁G处有一粒食物，且EG = 60cm, 一只小虫想从水缸外的A处沿水缸壁爬到水缸内 的G处吃掉食物.（1）你认为小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路线最短，请你画出它爬行的最短 路线，并用箭头