专题3.1 坐标系中的面积问题与规律问题 专项训练（解析版）.docx

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1、专题3.1坐标系中的面积问题与规律问题专项训练本专题训练卷共60题，其中：平面直角坐标系的面积问题25题，平面直角坐标系的规律问题35题；题型 针对性较强，覆盖面广，选题有深度，包含了平面直角坐标系中的规律问题和面积问题全部类型。（知坐标，求面积问题L平面直角坐标系的面积：I知面积，求坐标（方程思想） I分类讨论（1）知坐标，求面积解题技巧：已知组成不规则图形端点的坐标，求面积问题，常用方法为：“割补法”。原则是通过割补，不 规则图形或则边长不好表示的图形成容易根据点的坐标求解出边长的图形，然后在求解图形面积。不规则多边形：过不规则图形的顶点作坐标轴的垂线与平行线，将不规则图形“补形”成一个大

2、的矩形； 然后用大的矩形面积减去多余部分图形（多位直角三角形）面积。三角形：三角形用“补形法”也可以进行，但相对比较麻烦，三角形常用方法为“切割法”。过三角形 的顶点作坐标轴的垂线，将三角形切割成易于根据点的坐标求解边长的规则图形。（2）知面积，求坐标（方程思想）解题技巧：我们可以利用方程的思想，设未知点的坐标为未知数，然后再根据点的坐标，确定线段的长度， 进而根据图形面积列方程，求解出未知数即可。方程思想是比较常见的一类数学思想，引入未知数，可将 图形问题转化方程求解的问题。（3）分类讨论解题技巧：此类题型仅不知图形的一个顶点，且已知面积，求这个顶点。这个顶点位置不固定，存在多 解情况，需考

3、虑全面。点在坐标轴上：先确定三角形的底，根据面积，确定三角形高的长度。在根据底的长度或高的长度来确 定未知点的位置。点在格点上：已知三角形的面积，根据条件，先确定三角形的底；然后根据面积，确 定高；最后根据高的大小，确定未知点的位置（多解）。1. （2022春龙泉驿区期末）如图，在平面直角坐标系中，将折线A6向右平移得到折线CTD则折线AEB 在平移过程中扫过的面积是（）A. 15B. 20C. 24D. 25【分析】折线A切在平移过程中扫过的面积=IAbE+工皿在，再根据平行四边形的面积公式求解即可.【解答】解：折线AEB在平移过程中扫过的面积= SDAC/e+S0 50尸E= 53+52=

4、15+10=25,故选：D.2. （2022市中区二模）平面直角坐标系中，P （x, y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做P （x, y）的勾 股值，记为P，即P=+y.若点B在第一象限且满足6=4,则满足条件的所有B点与坐标轴 围成的图形的面积为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【分析】由勾股值的定义可得方程x+y=4 （x0, y0）,变形得y=-+4,求出此函数与坐标轴的交点坐 标即可求面积.【解答】解：设点P坐标为（, y）,由点B在第一象限且满足瓦=4,.x+y=4 （x0, y0）.即 y= - x+4,Ty=-+4与X轴交点为（4, 0）,与y轴交点为（0, 4）,满足条件的所

5、有5点与坐标轴围成的图形的面积为L4x4=8.故选：D.23. （2022春汇川区期末）如图，点A、B的坐标分别为（- 5, 6）、（3, 2）,则三角形ABo的面积为（）A. 12B. 14C. 16D. 18【分析】作AC,X轴、80,X轴，根据A、5坐标得出AC、BO及 8的长，根据S=S梯形AMC-S媒。- SABOr）可得答案.【解答】解：如图，作AcaX轴于点G作30, X轴于点。，VA ( - 5, 6)、B (3, 2), AC=6 OC=5, BD=2、OD=3,贝Ua)=OC+0D=8,Saaob=S梯形A5。一 Szvioc-Sabod =LX (2+6) 8- 56-

6、2X3 = 32 - 15 - 3 = 14,故选：B.2224. (2022春嘉祥县期末)若AABC三个顶点的坐标分别为A ( - 3, - 1), B (2, - 1), C (1, 3),则4ABC的面积为()A. 7.5B. 10C. 15D. 20【分析】构造平面直角坐标系，标出点A、B、C在坐标系中的位置，过点。向AB作垂线，垂足为O,根据SwcxA5XCD,即可得到答案.2【解答】解：过点C向AB作垂线，垂足为。，如下图所示：5abc=- ABXCD=-X 5X4=10,故选：B. 225. (2022春金乡县期末)在平面直角坐标系中，对于任意三点A, B, C的“矩面积”，给出

7、如下定义：“水 平底”外 任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”加任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积 S=Mz.例 如，三点坐标分别为A (0, 3), B ( - 3, 4), C (1, - 2),则“水平底” =4, “铅垂高”力=6, “矩面积” S=勿z=24.若O (2, 2), ( - 2, - 1), F (3, m)三点的“矩面积”为20,则根的值为.【分析】根据矩面积的定义表示出水平底”。和铅垂高“力，利用分类讨论对其铅垂高进行讨论，从而 列出关于根的方程，解出方程即可求解.【解答】解：VD (2, 2), E ( - 2, - 1), F (3, m)“水平底” =3 -

8、 ( -2) =5 铅垂高ah=3或|1+刑或|2 - m当力=3时，三点的“矩面积 S=5X3 = 1520,不合题意；当z=l+况时，三点的“矩面积 S=5X1+m=20,解得：根=3或相=-5 (舍去)；当力=|2-周时，三点的“矩面积 S=5X2-况=20,解得：根=- 2或根=6 (舍去)；综上：相=3或-2故答案为：3或-26. (2022.山东.日照市七年级期末)如图，在平面直角坐标系x0y中， ABC的三个顶点的坐标分别是A(-3,0), B(-6, -2), C(-2, -5).将AABC向上平移4个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到G.直接写出点Bi的坐标；(2)在平面

9、直角坐标系xy中画出 AiBiCi;若X轴上有一点P,且AABP的面积与AABC的面积相等，求P点的坐标.【答案】4(T,2); (2)作图见解析；(3)P(5. 5, 0)或P(-. 5, 0)；【分析】(1)根据题意，结合点的平移即可得到4(-1,2)；(2)根据点的平移，分别得到4、4、G的坐标，在平面直角坐标系中标出4、4、G，连接即可得到 A由1。；(3)利用平移不改变图形形状与大小可知SAG=SAA%,再结合ABC的面积是矩形面积减去三 个直角三角形面积，间接表示即可得出结果.(1)解：AABC的顶点B的坐标分别是5 (6, -2),当将4A5C向上平移4个单位长度，再向右平移5个

10、单位长度，得到AAiHO时，B1 (-6+5,-2 + 4),即B1 (-1,2)；(2)解： ABC的三个顶点的坐标分别是A (-3, 0), B (-6, 2), C (-2, 5),根据点的平移得到，将向上平移4个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到A4HQ,从而A(2,4), B1 (-1,2), C1(3,-1),在平面直角坐标系中标出A、Br G并连接可得 4H。，如图所示:(3)解：设点 P(Xo, 0),则 RI=IXo+3,117,. SAABC=4x5-(2x3 + 3x4 + lx5)= y = 8.5,且 A5P 的面积与 ABC 的面积相等， SAp=gx2o+3

11、= 8.5, .xo=5.5 或 Xo=.5, .P(5.5, 0)或尸 Gn.5，0),【点睛】本题考查平移变换，涉及到点的平移求坐标、利用平移作图、网格中三角形面积求解等知识点， 熟练掌握平移的性质是解决问题的关键.7. (2022.江苏无锡.八年级期中)在平面直角坐标系中，已知线段AB.其中A (1, 3), B (3, 0).平移若点C在y轴的正半轴上，点。在第三象限且四边形ABe。的面积为14,求点。的坐标.【答案】(1)(-4,1)(2) C(Og)【分析】(1)点5 (3, 0)向左平移5个单位，向上平移4个单位得到C (2, 4), A (1, 3)也向左平 移5个单位，向上平

12、移4个单位得到。；(2)如图，设C(Om),则。(-2,机-3),表示出四边形A5C。的面积列出方程即可.(1)解：5 (3, 0)向左平移5个单位，向上平移4个单位得到C (-2, 4),因此A (1, -3)向左平移5个单位，向上平移4个单位得到。(-4,1)； Syabcd= (- 2)?(m 3)- 2仓4 3?m 2仓4 2?瀛(m- 3) = 14 ,解得m=g , .【点睛】本题考查坐标与图形变化一一平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，间接法求面积也是本题 的关键.8. (2022.湖北武汉.七年级期中)如图是由边长为1的小正方形构成的网格,每个小正方形的顶点叫做格点.如 点A

13、, B, D, E都在格点上，连AO, NBAO=90。.请选择适当的格点，仅用无刻度的直尺在网格中完成下 列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由.B| ， T- LT - IJe1 ldi将线段AB平移到OC,使点A对应的点为。,连Be则正方形ABC。的面积为,AD的长度为；(2)把三角形 SE先向上平移4格，再向右平移2格，得到三角形BA尸，画出三角形BA尸，直接写出三角形 CDE在两次平移中扫过的面积=； (3)在CD上找一点”，使EM最短，连接EM.【答案】(1)图见解析，20, 而(2)图见解析，23(3)见解析【分析】(1)根据题意做出图形，利用勾股定理求出A。，根据正方形面积公式

14、求解；(2) ZkCD石在两次平移中扫过的面积等于大正方形的面积减去一个矩形面积和两个小三角形的面积即可;(3)根据垂线段最短，做出图形即可.(1)图形如下图，AD =亚率7 = 2行,正方形ABe。的面积=26x26 = 20.故答案为：20, 25 ；(2)图形如下图所示，阴影部分为扫过的面积ACDE在两次平移中扫过的面积=6x6-1x4x2-xlx2-2x4 = 23. 22故答案为：23.(3)如图即为所求，【点睛】本题考查了作图平移变换、三角形面积、平行四边形面积和垂线段最短知识，解题的关键是理解 平移变换的性质.9. (2022河北期末)如图，在平面直角坐标系中，已知点A (0,

15、4), B (8, 0), C (8, 6)三点.(1)求 A5C的面积；(2)如果在第二象限内有一点P (加，1),且四边形ABOP的面积是aABC的面积的两倍;求满足条件的尸点的坐标.【分析】(1)由点的坐标得出5C=6,即可求出aA3C的面积；(2)求出OA=4, OB=8,由S四边形AJBoP=Saao5+Sa0尸和已知条件得出方程，解方程即可.【解答】解：(1) VB (8, 0), C (8, 6), BC= 6, 5abc= 68=24;(2) VA (0, 4), B (8, 0), OA=4, OB=8,二 S 四边形a5op=Szaob+SzmoP=IX4X 8+1 x4 ( - m) = 16 - 2m,又丁S 四边形43op=2Szvwc=48,16 - 2m=48,解得：Jn= 一 16, .*.P (一 16, 1)