极值点偏移问题判定定理 （解析版）.docx

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1、极值点偏移问题判定定理极值点偏移问题判定定理一、极值点偏移的判定定理对于可导函数y=（）,在区间（心勿上只有一个极大（小）值点七 ,方程/（）=o的解 分别为巧，X2 , S,axx2b ,（1）若）（2of）,则甘&（用,即函数/=%）在区间（如引上极（小） 大值点儿右（左）偏；（2）S（x1）（2x0-x2）,则i（） ,即函数y = f（x）在区间（和与）上极（小） 大值点儿右（左）偏.证明：（1）因为对于可导函数y=/（）,在区间血力）上只有一个极大（小）值点, 则函数f（）的单调递增（减）区间为m,%）,单调递减（增）区间为（为力），由于 axl x2b ,有XVXO ,且 2/一勺

2、 VXo ,又/（X）v（2 - 七），故W （）2%-2 , 所以空（）% ,即函数极（小）大值点与右（左）偏；（2 ）证明略左快右慢(极值点左偏O?土产)左慢右快(极值点右偏o?上爱)二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1 .方法概述：(1 )求出函数/*)的极值点与 ；(2 )构造一元差函数 F(X) = + x)-(-x)；(3)确定函数?)的单调性；(4 )结合F(O)=O ,判断尸。)的符号，从而确定/(% +外、/(%-工)的大小关系. 口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.2 .抽化模型答题模板：若已知函数/3满足/(项)=/(毛)，/为函数Ax

3、)的极值点，求证： xi+x22x.(1 )讨论函数/(X)的单调性并求出了(X)的极值点；假设此处/5)在(-8，/)上单调递减，在(x,y)上单调递增.(2 )构造 7(x) = (%+x)-(Xu-x)；注：此处根据题意需要还可以构造成尸&)= /*)-/(2x0-x)的形式.(3)通过求导/(X)讨论汽X)的单调性，判断出Ax)在某段区间上的正负，并得出/*。+工)与/(与一工)的大小关系；假设此处尸。)在Qy)上单调递增，那么我们便可得出P(X)产(Xo) =/(%)-/(/)=O ,从而得到：XXO时,/( + )(0-).(4)不妨设x1v%时，/(/+幻/(与一幻且/f -(x

4、2 -) = /(2x0-X2),又因为X V% ,2% - X。且M在(-8,)上单调递减，从而得到NV - ,从而E + 2/得证.(5 )若要证明/(七2)0 ,还需进一步讨论七包与工的大小，得出营所在的 单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为斗+毛2/ ,故 WI陶，由于，(*)在(-8，/)上单调递减， 故七B0【说明】(1 )此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；(2 )此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求f(x)的单调性、极值点，证明*o + x)与/(xr) ( g(2x0-x)的大小关系;若试题难度

5、较大，则直 接给出形如X +毛2.2 .函数/O) = XJgV与直线 y = (一g)交于 A(N,a)、B(2,o)两点证明：x+X2 4. X4 .已知函数/(x) = (a2+(x-if有两个零点.设/，是/(的两个零点,证明：x+x2 2.四、招式演练5 .已知函数/(x) = +lnx-3有两个零点、/(X1Vx2). X(1 )求证：Oa2a.26 .已知函数/(x) = 21nx( R,a0).(1)求函数/W的极值；(2 )若函数/(%)有两个零点和WaVX2),且a = 4 ,证明： x1 + X2 4.7 .已知函数/(x) = x-2Ltr-, + 1 ,X(I )讨论

6、函数/(的单调性；(2)当。=1 时，正数4 ,满足) + (W) = 2 ,证明：x,+x22.8 .已知函数/(x) = lnx + (a ；卜一2r,eR .(1 )讨论/(的单调性；(2篇/(可在定义域内是增函数目存在不相等的正实数中Xz使得5) + (w) = -3 ,证明：西+吃2.9 .已知函数/(x) = F(0) e(1 )求函数/U)的单调区间；(2 )当 = 1时，如果方程/(x)=，有两个不等实根X，求实数/的取值范围，并证明x+X2 2.10 .已知函数f(x) = lnx-x (。为常数).(I )求函数/(x)的单调区间；(H )若。0,求不等式/(力-/弓7)0

7、的解集； 9(In )若存在两个不相等的整数毛，%满足/() = f(A2),求证：3 +2-.11 .(1)试比较2/加与八-,。0)的大小. X(2)若函数/*) = X-加的两个零点分别为七，占，求m的取值范围；证明：1+2M .12 .已知函数) = (3x2-6x+6)ex-x3 ( e为自然对数的底数).(I )求f()的图象在ml处的切线方程；(2)求/(%)的单调区间和极值；(3)若士工X2 ,满足/(3)=/(乙)，求证：%+)2.14 .已知函数 f(x) = xT + r(1 )讨论/(x)的单调性；(2 )设冷与是/(x)的两个零点，证明：X+% 4 .15 .设函数/

8、(x) = f-(-2)x-lnx .(1 )求函数/O)的单调区间；(2 )若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数，的值；(3)若方程/(X) = C有两个不相等的实数根毛，求证：/(工产)0 .16 .已知函数/(x) = e-加(awR)在(0,+0)上有2个零点七、2(x1 4 .17 .已知/(x) = In(x+-nr(zR)求8)的单调区间；(2)设心1 , Xm为函数/(X)的两个零点，求证：.-vl+ 0时，若方程Kt)=g(t)有两个不同的实数解R ,X2(X2.19 .已知函数/(x) = lnx+-s(se R).(1 )讨论/(的单调性；(2)当r = 2时，若函数

9、外力恰有两个零点大,毛(0420 .已知函数f(x) = -or+xlnx.(1 )若函数/0) = 1-办+月门的图象与X轴有交点，求实数。的取值范围;(2 )若方程/(X)=；有两个根为，且内 l21 .( 1 )试比较2加与x-(x0)的大小. X(2)若函数/*) = X-加的两个零点分别为巧，演，求7的取值范围；证明：Xy+X2i .参考答案：1 .(1) f()的单调增区间为(y,D ,单调减区间为+),函数Ja)在X=I处取得极大值 /，且/；(2)见解析.e【详解】试题分析：(I )先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，进而 确定单调区间以及极值(2 )为极值点

10、偏移问题,先构造函数产(x) = x)(2r) 1X(O,1, 根据导数可得F(X)单调性，即得/(2-N)(N注/(乙)，最后根据/W单调性得 2-x1x2 ,即证得结论试题解析：(I )由尸(X)=(IT)/,易得外工)的单调增区间为(Fl),单调减区间为(1,),函数/(X)在X=I处取得极大值/。)，且I) = B(II )由/(%) = /(W) , X工七，不妨设玉 巧,则必有0N 1o ,所以尸3在X上单调递增， F(x)F(O) = O ,也即/(l+x)(l)对x(0,l颉立.0x1 l(l-(I-N) =/(-V1) =/(x2),即/(2f )(x2) f 又因为 2-$

11、, x2(l,+),且/(x)在(Ly)上单调递减，所以2-王2.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数力(X) =/()-g*)根据差函 数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.( 2 )根据 条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用 放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.2 .证明见解析【解析】由已知函数/O)的单调减区间为(-,1),增区间为(1，田)，依题意可设N 占，且 当1 ;然后构造函数Pa)=+)-f(i),利用导数证明：7o ,从而可证x +x2 I ,设厂(X) =/(l + x)

12、-F(I-X) , F,(x) = 8(3-2x+l)0 ,故F(X)单调递增区间为(f,田)，又P(O) = O ,所以当工0时，F(x) F(O) = O ,即x0时，/(l + x)/(l-x) f/(%) = /(9) = /(1+(9-1)/(2-%)，又为 1 , 2-,4又函数/(%) = -/单调递减区间为(-,D ,所以耳2-%，即N+%22.【点睛】本题考查导数的极值点偏移问题，主要考查学生的转化与化归思想，属于难题3 .证明见解析【解析】利用导数求得函数/(X)的单调性，得到/U) = /)时,必有M 2七，得到4一内 2 , 2222化简/(王)一/(4一玉)=+ Inx1 +ln(4-x1),令/?(%)=+ lnx