不动点解特殊方程（学生版）.docx

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1、不动点解特殊方程利用不动点法解特殊方程 任何一个方程的求解都可以化为求某个函数的不动点问题.因为，任一方程总可以写成 g(x) = O的形式这里g(x)是X的函数将g(x) = O变为等式g(x) + x = x记/(x) = g(x) + x , 就能得到与g(x) = O的同解方程G) = X ,从而将求g() = o的解变成求函数/(x)不动点 的问题了 .在解方程之前，我们往往先要了解方程解的情况,如果方程根本就无解，那么研究它的解法 是没有意义的.另一方面，有些实际和理论问题的解决，只要求出方程的近似解，甚至并不 需要对方程进行具体求解，而只要知道方程的解是否存在.举一个颇有影响的例

2、子：公元 1799年德国数学家高斯(Gauss )证明了在复数范围内，n次代数方程： +尸+/_2产2 + .+印+/=0至少有一个根”.即著名代数基本定理.利用不动点 理论,我们可以把方程8(力=父+。“国+可_2亡-2+牛+%=0的求根问题化为求函数 力= g(x) + .r的不动点问题，由于方程g(x) = 0的根不可能超越复平面的某个半径很大的 圆域,且函数g(x)显然是连续的.因此，在这个大圆域内运用布劳韦尔(Brouwer )不动点 理论，知道至少存在一个% ,使/5)=不，即g(0) + 0=0 ,也就是说方程g(力=O至少 有一个根.可是，当时证明这个定理是艰辛的.也许上述这个

3、例子较抽象.我们不妨来看方程x = sinLcos (*)62要判定它是否有解，用常规方法是难以奏效的.事实上，判定方程(* )是否有解，就是判定/(x) = SiCQSW是否存在不动点.O 2显然/(X)在X0，1时有意义，且工40,1时，OVS加丝工1,0MeSW1 .故620(x)l ,又因为当工目()，1时正、余弦函数均为连续函数.所以也连续，由布劳 韦尔不动点理论可知/U)必有不动点，即方程(* )必有解.对于初等数学中的一类特殊的方程，下面我们在实数范围内，研究不动点与这类方程的求解 问题.定理I .若函数.y=()的定义域为2 ,值域为。一且qu2 ,则在2上，函数)=力 的不动

4、点也是其n次选代函数/()的不动点,即方程/(X)= X的解也是方程/(X) = X的 解( wN).证明：(1 )当 =2时，设函数/(X)的不动点为 ,BP()= .因为quo*,所以f(%)=f(%)=(Ai).所以.产(XO) =毛成立.(2 )设当 =A时，命题成立.即/叫) = % .则当31 时,/m() = w() = () = .所以当 = z + l时命题也成立，综上，可知命题对WN均成立.例1 .求方程25f+ io/25 + 6 = o的实数根.解：25x = 25x4+10x2+6所以x = d+/ + 嘏= (+gJ+g( * )令/(x) = f+(,显然。uO

5、,所以/(”的不动点就是/(力的不动点.即，9+g = 的实根就是方程(* )的实根.解得X =昔言.所以原方程的实根为g* .2 I2 I2例 2.解方程 X+：=+48 I 8J 44解：令v = +,则 y = j +： +设/(y) = (y+j ,贝U原方程为)(y) = y ,因为y=(y+j的解为)，= ；.所以/(y) = y的解亦为尸：.所以原方程的解为X= 丁一: = :.O O例3 .解方程 = J2+y2 +也42+x解：令Fa)=77 ,则原方程为/4/)7 ,对于/(力，易知qu & .可知/(的不动点就是/M(x)的不动点.所以解方程77 = ,得苍=2 ； S

6、= T (舍去)因而原方程的解为X = 2 .例 4 .解方程(f-3x+2)2-3(2-3x+2) + 2 X = O解：原方程可化为X = (X2-3彳+2)-3(x2 -3x+2) + 2令/(x) = f-3x-2 ,故原方程为了=X(x) = 2-3x-2 = x ,解得 = 2所以#-3x-2)-3(x2-3x+2) + 2-X= (x2-4x-2)Q(x) = 0 .因为 Qa) = X2 -2r ,所以X =。或x = 2 .故原方程有四个实根，SP22,0,2 .定理2 .若方程/(x) = (x)的解集为N ,，(力的不动点集为M ,则M = N .证明：若无不动点，则显然

7、有MtN .若小是的任一不动点，XOc M ,K!l() = 因为 / ,()=r,()=/()所以X是方程f(x) = fT(x)的解.即/eN .综上知有MUN.事实上，定理2说明互为反函数的两函数图像的交点未必一定在直线V = X上，如：函数 y = (x) = -(x R)与其反函数y = f-l(x) = M(XWR)的图像的三个交点 (0,0),(-1,1),(1,-1),其中只有点(0,0)在直线y= .定理3 .若函数V =/(x)在定义域内单调递增,则方程/(x) = (x)的解是函数/(的不 动点.证明：若方程/(=/ (x)无解，则由定理2可知，“力无不动点.若方程W =

8、 T(x)有解,设凡是它的任一解，则玉)=尸U) .若XoV/(不)，因/U)在定义域内单调递增，则/k)f(xo)也不成立，故/(%) = % ,即凡为外力不动点.反之，若函数“x)的不动点为小，由定理2可知，.%是方程/(力=尸(力的解.例5 .已知函数I) = 1+ -2(x-2).解方程/(x) = L(X).解:因为/W) = /+-,当-2时Ja)单调递增,故只需解方程12+ = , 解得x = 2 .所以方程f(x) = (x)的解为x = 2 .我们常把一些方程的求解问题化为不动点问题来考虑，有些方程还可用逐步通近来解，它是 代数方程及计算数学中的重要方法，其主要思想是：若/U

9、)是实函数，要解方程/W = O , 可将f(x) = O化为等价方程g(6 = x(即求g(x)的不动点).由于该不动点不易求出，因此， 我们考虑g(x)的递归数列% =g(4)( = 0，l，2).如果数列初始值%=。，且数列4有极限，即hmq=。，当g(x)连续时，A = Ii叫,i = Iimg(q)=x(imj = g(%), -Xr-1rf/所以M)=。，即方程x) = ()的实根为%，其中/称为“x) = 0的n次近似根.例6 .求方程V- -1 = O的近似根.解：原方程可化为d=V+l ,两边同除/得 = + 3 .x令 g() = +*因为g(x)的不动点不易求出，考虑其递归数列.我们发现(读者可在计算机上进行计算)，当n越来越大时，凡不趋于任何一个常数.用数 学语言说就是，数列6是一个发散数列，这样就求不出原方程的根了 .因此，如何构造递 归数列，构造的递归数列是否有极限是关键的.【强化训练】1 . 解方程 arctanarctanarctanx = x .2 .解方程 X = (X2-2)2-2 .3 . g(x) = x3 + x f 解方程/() 二尸(x). O4 .求方程V+x-I = O的正的近似根(精确到10一)