8_08-专题八 立体几何-2024.docx

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1、专题八立体几何一、单项选择题1.（2023届河南荥阳摸底,6）某圆锥的侧面积是底面积的2倍,则该圆锥的侧面展开图的 圆心角为（）A. 2 B.- C. D.- 22答案C设圆锥的母线长为1,底面圆半径为月则底面圆面积S=JI1底面圆周长为 2r,圆锥侧面积2 rJ=nrli所以 rl=2 所以l=2ri所以该圆锥的侧面展 开图的圆心角为子=等二n ,故选C.2. （2023届成都八中月考，10）已知正方形ABCD的边长为2,点E为边AB中点，点F为 边BC中点,ED, DCF, ME”分别沿DEt DF, Er折起,使A, C, 8三点重合于P点, 则三棱锥尸-OE户外接球的表面积为（）A.

2、B.3 C.6 D.122答案 C 如图，由题意可知PE上PF, PE上PD, PD上PF,且PE=PF=I, PD=2t故可把三 棱锥20E/补全成长方体,则长方体的外接球即为三棱锥RQE/的外接球.设外接球半 径为R,则（2而2=尸序+pf2+p02= + +4=6.三棱锥尸-DE尸外接球的表面积为6 .故选C.D3.（2023届河南焦作调研一，11）己知圆柱的轴截面是边长为2的正方形,AB和CD分别 是该圆柱上、下底面的一条直径,若四面体ABCD的体积为等,则异面直线AB与CD 所成角的余弦值为（）.222n 1p. 1A.B.-C.-D.-3223答案D如图，设上底面圆心为。，下底面圆

3、心为。2,连接OCON,002.由圆柱的轴 截面是边长为2的正方形,可知圆柱的底面半径为1,高为2.在AOCO 中，CD=2, 0G=2,则Smcd = 22=2.设A到平面OCD的距离为hi则%-bct）=2%y0D = 2 SCD ,九=i解得=.过。2作E/A8交圆。2于点E、F,则异面直线AB与CO所成角为NEo2。或其补角，过E作EH CD于点H,则EH=h片,所以 CzH=Vl - EM =1所以CoSNEo2。=署=即异面直线AB与CD所成角的余弦值为;.故选D. c（2334. （2023届黑龙江大庆月考一,5）凡n为不重合的直线,a/, 为互不相同的平面,下列说 法错误的是（

4、）A.若mn,则经过my n的平面存在且唯一B.若 ai aC=mt C=n,则 m/ nC.若 CtjaC=rnt 则 LyD.若 mua, nua, m/4,夕,则 夕答案D对于A,若用,则由公理2的推论可得经过抽的平面存在且唯一，故A中 说法正确；对于B,若af aC=mtC=nt则由面面平行的性质定理得mnt故B中说法正确； 对于C,如图，设a=a,=bf在a内作CJ_。于点A,在尸内作d_Lb于点B,因为al t-Lf 所以 c-Lt d,所以 cd,所以 ct 因为 aC=m, CU,所以 C犯所以 my, 故C中说法正确；对于D,若nc, nc, mf 小则与4相交或平行，故D中

5、说法错误.故选D.5. （2023届昆明一中双测二,4）在正方体ABCD-ABCD中，0为底面ABCo的中 心,E,尸分别为棱AiBh BlCl的中点,经过E, F, 0三点的平面与正方体相交所成的截面 为（）A.梯形B.平行四边形C.矩形D.正方形答案A如图,在“囚G中，因为EF分别为棱48,8G的中点,所以 所AQ,叫AG由正方体的性质可知AlcI AeAlCl=AC,所以E3AC,因为点O在直线AC上,所以 点A, G F, E确定一个平面,所以经过E,F,。三点的平面与正方体相交所成的截面为平 面ACFEf即确定的平面是梯形,故选A.方法总结:立体几何中截面的作法若己知两点在同一平面内

6、，只要连接这两点,就可以得到截面与多面体的一个面的截 线.若平面上只有一个已知点,应设法在同一平面上再找出第二个确定的点.若两个已知点分别在相邻的面上,应找出这两个平面的交线与截面的交点.若两平行平面中一个平面与截面有交线,另一个面上只有一个已知点,则按两个平行 平面与第三个平面相交,它们的交线互相平行的性质，可得截面与另一平面的交线.若有一点在面上而不在棱上,则可通过作作辅助平面转化为棱上的点的问题;若已知 点在体内，则可通过辅助平面使它转化为面上的点,再转化为棱上的点的问题来解决.6. （2023届山西大同联考一，10）如图,在四棱柱ABCDA山IGA中,46=AO=AA=I, A。_L

7、AAhADLABy乙4向8=60。,/77分别是棱48和反?的中点，则下列说法中不正确的是AA,C,MN四点共面BBN与AB共面C.A。JL平面 A88AD.Ai_L 平面 ABCO答案B连接MN,因为AAI CG,且A=CG,所以四边形AACC是平行四边形,所以 AeAG.又MN分别是棱AB和8C的中点,所以MN/AC,所以MN4C,故A, G, M N四点共面,A正确.因为A、B、a在平面ABBMi内，而N不在该平面内，故HN与A5不共面,B错误.因为 ADAA, ADLAB, AAAB=A,所以AO_L平面ABBA, C正确.连接48, ZAAB=60o, AB=AD=AAi=I,所以4

8、A8A是等边三角形,所以AM-LAB.因为 AO_L平面 ABB1Ab AlMU平面 ABBA,所以 AiMADt 因为 ABClAO=A,所以 AIMJ_平面ABCDt D正确.故选B.7. （2022新高考/, 8, 5分）已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36元，且3 *2=6, .h=-M cr=2h (6-A) = 226正四棱锥的体积VqQ2九= f 4 一 皋； VW13 令 Vf=0, =26.V在3, 26）上单调递增,在（26, 33上单调递减，而 /=3 时，V=N /=3百时，V=-, =26, V=-, 443.该正四棱锥体积的取值范围是

9、*,g.8. （2023届南昌零模,7）已知正方体ABCD-ABCD的棱ABf AQ, DiCh ClBl的中点分别为E, F, G, Ht则下列直线中与两平面ACDh 8。G交线平行的一条直线是（）A.EH B.HG C.EG D.FH答案C如图,连接OG与C。交于点。,设AC,5。交于点K,连接OK,则平面 ACDln平面8。G=OK又0、K分别是CD|、AC的中点，则OKAOl,因为G, E分别 是OICI, 46的中点,所以AD/GEi则GE OK,故选C.二、多项选择题9. （2023届辽宁六校期初，11）己知正方体ABCD-BCD的棱长为2,则（）A.直线BCl与。4所成的角为90

10、B.直线BCl与CA所成的角为90C.点C到平面AfiCiDi的距离为当D.直线BCl与平面A5C。所成的角为45。答案ABD连接囱C,与BG相交于点,因为O48C所以直线BG与BC所成的 角即为直线BCx与OAl所成的角，因为四边形BBGC为正方形,则B1CBC,故直线 BG与04所成的角为90。,故A正确；因为A J_平面BBCC, BGu平面BBlCC 所以IBCit因为BiClBG, AiBiOBiC=Bif A3u平面 AiBiC, BcU平面 ABC,所以 BG J_平面 AiBiC,又 ACc 平面AIC所以BGjLC4,即直线BCl与CA所成的角为90,故B正确； 因为 A8J

11、_平面 BBQC, SCU平面 lClC,所以 A8J_%C,又 SiClBG, ABCBCi=B, ABU平面 ABGOhBGU平面 A8G。,所以 BlUL平面 A5G。，则 CE 的长为点C到平面ABCiDi的距离，由题意可得CEZl,即点C到平面ABGA的距离 为,故C错误;因为CGJ平面ABCD所以NG5C为直线BG与平面ABCQ所成的 角，易知NGBa45。,故D正确.故选ABD.10. （2022河北邯郸一模，10）如图,在空间四边形ABCD中,E, F分别为ABf AD的中 点,G,分别在 8C, CO 上,且 BG ： GC=OC=I ： 2,则（）A.3O平面 EGHFB.

12、H7 平面 ABCC.AC平面 EGHFD.直线GE, HF, AC交于一点答案 AD 因为 BG ： GC=DH ： H&所以 GHBD.又Ei尸分别为仍力的中点,所以EF/BDi且E*BD,则EFGH,所以Ei G, H,尸四点共面. 易知BD平面EGHF, FH与AC为相交直线，即A正确,B, C错误.因为四边形EFG为梯形,所以EG与切必相交,设交点为M,因为EGU平面ABC, FHc5FffiI ACD,所以M是平面ABC与平面ACD的一个交点,所以MACt即直线GE, HF, AC交于一点，即D正确.故选AD.11.（2022重庆巴蜀中学3月适应考（八），12）如图甲,在边长为2的

13、正方形ABCQ中，点E,产分别是A8, BC的中点,点M是Ao上靠近A的四等分点.现将2Ob分别沿A.P8平面 EFMB.PDSBC.平面与平面 ）E所成角的余弦值为当D.点P到平面BFDE的距离为:答案ACD如图,连接BD,交所于G,连接PGMG墨=*所以MG尸区因为PBC平面EFM, MGU平面EFM,所以P8平面EFMt A正确；因为PDLPE, PDlPF, PECPF=P,所以POJ_平面PEF,故PD与PB不垂直,B错误；易得平面EFM与平面G=J（y）2 - （y）2 = y,由余弦定理的推论,得COSNMG二当C正确;由COSN MGo=净口 SinNMG0=当作MN上BD,易

14、证MN_L平面BFDE,易知点尸到平面BFDE 的距离是点M到平面七的3倍,设点P到平面8打汨的距离为di d=MN = MG - SinZMGD = , D 正确，故选 ACD.12. （2022湖北八市联考，11）我们把经过同一顶点的三条棱两两垂直的三棱锥,称作直角 三棱锥.在直角三棱锥S-ABC中，侧棱SA. SB、SC两两垂直，设SA=a, SB=b, SC=G点S 在底面ABe的射影为点。,三条侧棱SA、SB、SC与底面所成的角分别为a、八人下 列结论正确的有（）A.Q为AABC的外心B.ZMBC为锐角三角形C.若 abc,则 aD.sin2+sin2?+sin2y= 1答案 BCD 连接AD, BD, CD易证ADLBCt BDLAC, Co_LA8,故。应为AABC的垂心, 故选项A不正确；由勾股定理可得,AB2=a2+b2, C2=a2+c2i BC2=b2+c1.在AABC中，由余弦