11-2 离散型随机变量及其分布列、均值与方差-2024.docx

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1、11.2离散型随机变量及其分布列、均值与方差基础篇考点离散型随机变量及其分布列、均值与方差考向一离散型随机变量的分布列、均值与方差1 .(2013广东,4, 5分)已知离散型随机变量X的分布列为X123331P510To则X的数学期望E(X)=()35A.-B.2C.-D.322答案A2 .(2023届辽宁渤海大学附中月考,2)己知随机变量X的分布列如表所示,若E(X)=2,则O(X)=()X123P13mnA.-B.-C.-D.2333答案A3 . (2022辽宁锦州质检,6)随机变量X的分布列是X-1121Pab3若 E(2X+1)=2,则 O(X)=()Aj B.4* 盛答案D4 .(多

2、选)(2023届山西长治质量检测,9)以石墨烯电池、量子计算、Al等颠覆性技术为 引领的前沿趋势,正在或将重塑世界工业的发展模式,对人类生产力的创新提升意义重 大.我国某公司为了抢抓机遇,成立了 4、B、C三个科研小组针对某技术难题同时进行 科研攻关,攻克技术难题的小组会受到奖励.已知A、B, C三个小组攻克该技术难题的概率分别为且三个小组各自独立进行科研攻关.下列说法正确的有（）A.三个小组都受到奖励的概率是:B.只有A小组受到奖励的概率是；C.只有C小组受到奖励的概率是高D.受到奖励的小组数的期望是答案AD5 .（多选）（2022湖北襄阳五中模拟，10）设离散型随机变量X的分布列如表,若离

3、散型随机变量Y满足y=2x-,则下列结论正确的是（）X01234-P q0.40.10.20.2Aq=O. 2B.E（X）=2, D（X）=1.8C.E（X）=2,D（X） = 1.4D.E（W=3,D（r）=7.2答案BD6 . （2020课标HI理,3, 5分）在一组样本数据中，1, 2, 3,4出现的频率分别为p2,p3,4且i=l Pi=I,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是（）A.p=p4=0.1, p2=p3=O.4B.p=p4=0.4, p2=p3=O. 1CwI=P4=02 p2=p3=O.3D.p=p4=0.3, p2=p3=O.2答案B7 .（2014浙江，12

4、,4分）随机变量4的取值为0,1,2.若。（勺0）卷 = 1,则O=.答案I8 . (2022河北开学摸底，18)甲、乙、丙三台机床同时生产一种零件,在10天中，甲、乙 机床每天生产的次品数如表所示：第I天第 2 天第 3 天第 4 天第 5 天第 6 天第 7 天第 8 天第 9 天第10天甲O1O223312O乙2411O211O1(1)若从这10天中随机选取1天,设甲机床这天生产的次品数为X,求X的分布列；已知丙机床这10天生产次品数的平均数为1.4,方差为1.84.以平均数和方差为依据, 若要从这三台机床中淘汰一台,你应该怎么选择?这三台机床你认为哪台性能最好？ 解析(1)依题意得X的

5、可能取值为0,1,2, 3,P (X=O) =P(X=2) =0.3,P(X=D=P(X=3)毛=。2故X的分布列为XO123P0.30.20.30.2(2)土甲= (0+1+0+2+2+3+3+1 +2+0)=1.4,x7 = X (2+4+1 +1 +0+2+1 + 1+0+1) = 1.3,乙 10= Vx3x(0-1.4)2+2x(lL4)2+3(21.4)2+2x(3-L4)2= 24,= 2 (O-1.3)2+5 (1-1.3) 2+2 (2-1.3)2+(4-1.3)2 = 1.21.乙 10因为土甲=三丙 S需 S. S；,所以次品数的平均数最小的是乙机床,稳定性最好的也是乙机

6、床,稳定性最差的是丙机床，故应淘汰丙机床，乙机床的性能最好.考向二超几何分布1. (2022济南历城二中3月模拟,4)从一批含有13件正品,2件次品的产品中不放回地抽3次,每次抽取1件,设抽取的次品数为高则E(5+D=()A.2 B.l C.3D.4答案C2. (2021浙江，15, 6分)袋中有4个红球,m个黄球,n个绿球.现从中任取两个球,记取出的红球数为$若取出的两个球都是红球的概率为一红一黄的概率为W则加 63=, Ed) =.答案1 I3. (2023届江苏海安月考，19)某药厂研制了治疗一种疾病的新药,该药的治愈率为85%.现用此药给10位病人治疗,记被治愈的人数为X.(1)若X=

7、6,从这10人中随机选3人进行用药体验访谈,求被选中的治愈人数Y的分布列和数学期望；(2)当攵为何值时,概率尸(XF)最大?并说明理由.解析(1)治愈人数y的可能取值为0, 1,2,3.P(y=0)=3 = , P(N=I)=譬=芥 P(y=2)=等=a p(y=3)=旨=所以y的分布列为Y0123P1303101216所以 Y 的数学期望 EW =OXW +1+2+3 = ;. 3010L65依题意，知 XB(10, 0.85),则 P(X=Z)=C%0.85仪(1-0.85) ,o(OA1O, AM).也 1,故尸(X=M)P(X=Ic).若 SX 警 1,故 O v F A5K*T .P

8、(X=9) P (X= 10).所以当&=9时,概率P (X=k)最大.4. (2023届辽宁六校期初考试,20)新高考的数学试卷第1至第8题为单选题,第9至第 12题为多选题.多选题A、B、C、D四个选项中至少有两个选项符合题意,其评分标准 如下:全部选对得5分,部分选对得2分,选错或不选得0分.在某次考试中,第U、12两 题的难度较大,第11题正确选项为AD,第12题正确选项为ABD.甲、乙两位同学由于 考前准备不足,只能对这两道题的选项进行随机选取,每个选项是否被选到是等可能的. (1)若甲同学每题均随机选取一项,求甲同学两题得分合计为4分的概率；(2)若甲同学计划每题均随机选取一项，乙

9、同学计划每题均随机选取两项,记甲同学的两 题得分为X,乙同学的两题得分为Yi求X, V的期望并判断谁的方案更优.解析(1)因为甲同学两题得分合计为4分,所以这两道题每道题得2分， 所以甲同学两题得分合计为4分的概率为竽 = .L48(2)甲同学两题得分X的可能取值为0, 2, 4, P(X=O) = = i P(X=A)=朱* =3 t4 L4 0L4 *-*48P (X=2) = 1 -P (X=O) -P (X=4) = l-i- = 882所以X的分布列为X024P113828因此 E(X)=OX= + 2 + 4 1=2.5 (分), oZ8乙同学第11题可能得分为八p(y,=0)=

10、+ = I p(r=5)= = 乙同学第12题可能得分为y2,p(y2=o)=l = i p(y2=2)= =乙同学两题得分Y的可能取值为0, 2, 5, 7,P (y=0) =P (y=0) P (Y2=O) =- -=, 6 212P (r=2) =P (=o) p(h=2) =4 = 6 212p(y=5) =P(r1=5) P(K2=O)4 I = 0 ZTNp(y=7) =p(=5) p(y2=2) =7 = 77,6 Z12所以丫的分布列为Y0257P512512112112因此 E(y)=O + 2+5 + 7 = ”(分)， 121212126因为E(X)E(y),所以甲同学的

11、方案更优.5. (2017山东理，18, 12分)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对 人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示， 另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心 理暗TrC的作用.现有6名男志愿者Ai, Aa, A3, A4,A5, Ag和4名女志愿者Bt B?, B3, Bb从中 随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含4但不包含场的概率；用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望E(X).解析(1)记接受甲种心理暗示的

12、志愿者中包含A但不包含a的事件为M则由题意知X可取的值为0, 1,2, 3, 4,则P(X=O)=3=WP(X=I)=萼= cIO 42cIO21， co 21,P (X=3)=警=另尸(X=4)=浮= 5o zLlO 44因此X的分布列为XO1234P1510514221212142X的数学期望是 E(X) =O+l + 2i73 + 4=2. 21212142综合篇考法求离散型随机变量的均值与方差的方法1. (2019浙江,7,4分)设0vl,随机变量X的分布列是XOa1111P333则当。在(0,1)内增大时，()AQ(X)增大BQ(X)减小CQ(X)先增大后减小DQ(X)先减小后增大答

13、案D2. (2020浙江,16, 6分)盒中有4个球,其中1个红球,1个绿球,2个黄球.从盒中随机取球, 每次取1个,不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为乙则P (E) =, E =.答案j 13. (2022全国甲理，19, 12分)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项 目胜方得10分,负方得O分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军. 已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5, 0.4, 0.8,各项R的比赛结果相互独立. (1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望.解析(1)记“甲学校在第i个项目获胜”为事件AjG=I,2,3), “甲学校获得冠军”为 事件E则 P(E) =P(A1A2A3)+/5(AiA2Z3)+P(AiA3)+P(Z1A2A3) =- + - + - 25525525l + li = 3 甲学校获得冠军的概率为*(2)记“乙学校在第/个项目获胜”为事件由。=1,2,3).X的所有可能取值为0, 10, 20, 30.则 P(X=O)=P(F1F2S3) =1 I H *P (X=l