时间序列分析方法--第04章-预测.docx

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1、第四章预测在本章当中我们讨论预测的一般概念和方法，然后分析利用A7?/W4(p应)模型进行预测的问题。4.1 预期原理利用各种条件对某个变量下一个时点或者时间阶段内取值的判断是预测的重要情形。为此，需要了 解如何确定预测值和度量预测的精度。4.1.1 基于条件预期的预测假设我们可以观察到一组随机变量Xt的样本值,然后利用这些数据预测随机变量匕+1的值。特别地, 一个最为简单的情形就是利用匕的前m个样本值预测匕+1,此时Xt可以描述为：X,C,L+假设匕:也表示根据X,对于匕+1做出的预测。那么如何度量预测效果呢？通常情况下，我们利用损 失函数来度量预测效果的优劣。假设预测值与真实值之间的偏离作

2、为损失，那么简单的二次损失函数可 以表示为(该度量也称为预测的均方误差)：MSE(Y = E(Yt+-YtV定理4.1使得预测均方误差到达最小的预测是给定X,时，对匕m的条件数学期望，即：仁甲二石区M X,)证明：假设基于X,对匕m的任意预测值为：匕m=g(xj那么此预测的均方误差为：MS石(匕;IQ =垣匕+ig(X.)K对上式均方误差进行分解，可以得到：MS矶琮邛)=顼% (%IlXi + (%1 I X,) g(X,)2=EYt+i - E(Yt+1 I Xt)Y + E(Yt+lXt)- g(X,)K+ 2EYt+1 - E(Yt+11 Xt)E(Yt+lXt)-g(X,)其中交叉项的

3、数学期望为(利用数学期望的叠代法那么)：EYt+l-E(Yt+1Xt)E(Yt+1Xt)-g(Xt) = O因此均方误差为：MSE(Yt) = EYt+i - E(Yt+l I XJ2 + (匕 j g(jf为了使得均方误差到达最小，那么有：g(Xt) = E(Yt+lXt)此时最优预测的均方误差为：MSE(YZllt) = EYt+i - E(Yt+l I X,)2End我们以后经常使用条件数学期望作为随机变量的预测值。4.1.2 基于线性投影的预测由于上述条件数学期望比拟难以确定，因此将预测函数的范围限制在线性函数当中，我们考虑下述 线性预测：y二X,如此预测的选取是所有预测变量的线性组合

4、，预测的优劣那么表达在系数向量的选择上。定义4.1如果我们可以求出一个系数向量值,使得预测误差区+1-aX,)与Xf不相关：E(Yt+l-a,Xt)Xt = O那么称预测为匕m基于Xt的线性投影。定理4.2在所有线性预测当中，线性投影预测具有最小的均方误差。证明：假设gX,是任意一个线性预测，那么对应的均方误差可以分解为：MSE = EYt+l - gfXtY = EYt+l -优Xf + 4- g,XtV= E(Yt+i-a,Xty+E(afXt-gfXty+2E(Yt+l-a,Xt)(a,Xt - g,Xt)由于优X,是线性投影，那么有：E(Yt+l-afXt)(a,Xt - gfXt)

5、= E(Yt+l-a,Xt)Xrt(a - g) = 0因此均方误差为：MSE = E(Yt+l -a,Xty +E(a,Xt-g,Xt)2为了使得均方误差到达最小，线性预测满足：gXt=aXt这是一个线性投影。End我们将线性投影预测表示为：P(Yt+iXtatXt或者简化为：心，=X,显然线性投影的预测误差仍然不小于条件期望预测，因此有：MSEP(Yt+iXt) MSEE(Yt+l Xt)当条件中包含常数的时候，此时线性投影当中就含有常数，为此使用月表示含有常数项的线性投影 预测,即：E(Yt+lXt) = P(Yt+1l, Xt)4.1.3 线性投影的性质根据线性投影的定义，我们可以求出

6、投影的系数向量：E(Yt+iXrt)=arE(XtXrt)如果E(X/X；)是可逆的，那么有：ar = E(Yt+1Xrt)E(XtXrt)命题4.1线性预测满足下述性质：(1)最优线性预测的均方误差为：MSE = E(Yt+y - E(Yt+iX；)E(XtX；)尸E(XtYt+1)(2)线性投影满足线性平移性质：P(aYt+l+bXt) = aP(Yt+lXt) + b证明：(1)根据投影向量的表达式，可以得到：MSE = E(Yt+l-a,Xt)2=E区m)2-2E(LlX；)E(X,X；)TE(Xj J+ Ea+1X；)g(X/X；)尸生(X/X；)止(XM+1)化简就可以得到命题表达

7、式。(2)需要证明。户(匕+J X,) +。是“匕+1+匕的线性投影。显然，它是线性函数，其次，可以证明它满足正交性质。End4.1.4 线性投影和普通最小二乘回归线性投影与最小二乘估计紧密相关，这两种概念之间存在联系。例如，将+1基于%建立线性回归方程，得到：+ =BXt+ 小对于给定为+1和的T个样本，样本残差平方和定义为：(iZ=I使得残差平方和到达最小的系数最小二乘估计为：b = %X)T%2+) t=lt=l如果过程是协方差平稳过程且关于二阶矩是遍历的，那么有：1 TXxtxtE(XtX；)I t=1 T亍 X+1 =E(Xj+)1 r=因此上述OLS估计按概率收敛到线性投影系数：b

8、-a向量预测上述结果可以推广到利用mXl维向量X,预测X1维向量匕+1,记为：P(Yt+1Xt) = afXtYt+ut其中优为投影系数的一个九X机阶矩阵，满足正交条件：E(Yt+l-arXt)X； = 0上式说明预测误差区+1 -+11，)的每一个分量与条件变量X,的每一个分量都无关。命题4.2假设+1/是匕+1的最小均方误差线性预测，那么对任意匕+1的线性组合%1=匕+1，它 的最小均方误差线性预测为：t+lt =+lr证明：只需证明是线性投影即可，这时需要验证相应的正交性。End类似地，投影矩阵为：a, = E(Yt+lX;)E(XtX与此对应的均方误差矩阵为：MSEEYt+i -aXt

9、Yt+i -,Xz,=E(Yt+lYt,+l)- E区+X；)E(X,X；)TE(XjlI)4.2基于无限个观测值的预测无论是条件期望预测还是正交线性预测，都是基于有限个条件变量的，下面我们分析基于无限个观 测值情形下的预测。4.2.1 基于滞后误差的预测考察一个无限阶移动平均过程M4()：+Yt = + (L)t, D) =+ l + 21 +，j J=O假设已经知道过去所有时间阶段的残差观测值j,J,J_2,，也知道模型中各种参数的值。现在 我们要预测S个阶段以后的匕+s，根据模型它应该是：Yt+s =z + J+s + t+s- + 2t+s-2 + + J + s+t-X +-对此最优

10、线性预测形式为：EYt+s t, %7,=+ 忆 J + sh + s+2t-% + 这个预测值的对应误差为：t+s - EYt+s t, % ,=+ it+s + 2 J+s-2 + + s-t+x这个预测值的均方误差为：EYt+s -EYt+s ,.1,2 =(l + 12 +2 +. + 2 jcr2 例4.1试求M4(q)过程的最优线性预测。解：MA(夕)过程为：Yt= + (L)t, g = o + L + +qI3那么它的最优线性预测为:EYt+st,t-=+ st + 4+1 与-I + , + %t-q+s9s = l,2,qs = q + l,q+2,-对应的均方误差为：2,

11、S = IMSE = I(1+毋 +废 +.+ %靖，s = 2,3,国(1+纤 + 引 + +年)2, s = q + l,q + 2,上述预测具有清楚的含义，在时间间隔夕以后，使用过程的均值进行预测，而方差是过程的无条件 方差。4.2.2 基于滞后Y的预测一般情况下，我们仅仅可以观察到丫的值，为此假设移动平均过程具有可逆表示：(L)Qf ) = t其中：+() = %+. + 生+，0=l, jj J=O假设上述AR过程与MA过程之间滞后算子多项式的关系：T7(L) = ML)-11 .协方差平稳的4?(P)过程为：(l-iL-2DpLP)(Yt-) = t表示成为算子多项式形式：(L)(

12、Yt-)t满足：(L) = (L)，HL) = S(=尸2 . 一个MMq)过程可以表示成为：Yt - = (l + 1L + 2L2 +- + qLt也可以表示成为算子多项式形式：Yt- = L)t在可逆性假设条件下，那么有：(L) = (L), ()=伙)T如果给出了观测值化，匕_1，,可以在模型当中构造出残差序歹Uj,J,例如在血过程 当中：(l-L)(Yt-) = t对于给定系数和匕,匕_1，由上式可以计算出：t=(Yt-)-(Yt-)在可逆的舷Ml)过程当中，可以得到：t=(l + L(Yt-)=&)伙心)+。2区 2最后，可以得到给定匕，匕7,条件下的预测公式为：EYt+sYt,Y

13、t- = + 区-)/J批注微软用户1： w-k公工或者：面九匕,心, = + 喂嵩氏)上述公式也被称为Wiener-Kolmogorov预测公上述公式当中的算子是截断形式的算子表达式, 算子表达式中将滞后算子的负指数项省略。4.2.3 预测一个A7?过程对于一个平稳的旗过程，可以将算子多项式表示成为：W(D =-= + L + 2L + 3 L3 H l-L2 =0s+s+l + =s+22 + 7 I。利用上述公式，可以得到S阶段后的最优线性预测为：EYt+s Yt,Yt + -(l-L)(Yt-)1-()L= + Pt -A)上述预测公式说明，随着预测阶段的增加，预测值将趋于长期均值。对应的预测误差为：MSE=口 +2+4+. + 2(I)cr2随着预测阶段的增加，预测误差也趋于无条件方差O? IQ 2) o4.2.4 预测一个4?(P)过程对于一个平稳的4?(P)过程，可以利用Wiener-KOlmogOrOV预测公式进行预测。该公式的主要特点 在于：它可以利用过去的过程观测值和未来的残差值表示预测值，然后未来的残差值利用期望去掉。s- = fn (匕M + 龙)&T - M + + 比)(Yt-p+ - M+ G+s + it+s-X + it+s-2 + s-It+1 其中力（，表示矩阵八中第i行、第/列元素，矩阵尸为:A l。3 p. p1 0 0 00F= 0