数形结合概念通透学习的力量 论文.docx

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1、数形结合概念学习通透的力量摘要：针对当前小学生在数学概念学习中的问题，分析数学概念的特点以及学 生形成数学概念的思维路径，尝试从数学的两个最基本的研究对象一一数与形出发， 总结、提炼基于数形结合的小学数学概念教学策略，帮助小学生构建概念本质，形 成概念认知结构，提高学生的思维能力，进一步提升学生的数学素养。关键词：数学概念，数形结合，教学策略引言：数学概念反映的是现实对象的数量关系和空间形式的本质特征。其表现 形态是高度概括、精确的语言。因其抽象的内容、静态的呈现方式以及在教材中的 点状分布，导致学生学习数学概念很困难，如何突破该学习难点？教师可以从数学 中的两个最基本的研究对象数与形出发，探

2、寻数形结合揭示概念本质的教学策略。一、小学数学概念很难学在市2020-2021学年度第二学期五年级期末测试卷中有一道判断题：棱长是6 厘米的正方体，表面积和体积相等。我校504班44人参与测试，8人答错，错误率 18.18%o无独有偶，人教版三年级下册课本第74页上有这样一道判断题：边长4米的正 方形，它的周长和面积相等。之前在我校304班学生学完正方形的面积一课之 后，笔者立即进行了后测。参与测试的52人中，30人认为这题是正确的，错误率高 达57.69%o看来，无论是在刚刚建构数学概念之时，还是在经历多轮巩固练习消化 吸收之后，总有学生分不清概念周长与面积、表面积和体积。他们是怎样想的呢？

3、 笔者对504班学生进行了访谈。判断失误的学生认为：正方体表面积和体积计算公 式分别是S=6a2 V=a3,棱长是6厘米的正方体的表面积和体积都是666=216,所以它的表面积和体积相等。能正确判断的学生认为：正方体表面积是一个面的大小, 是二维的；正方体的体积是它所占空间的大小，是三维的，它们无法比较，所以这句 话是错误的。对比两种观点，错误判断的学生关注的是表面积和体积怎样计算，正 确判断的学生抓住了表面积和体积概念的形状。不仅周长、面积、体积学生易错， 在小学数学学习中，还有许多概念是学生很难把握的。例如：正反比例概念。人教 版六年级上册课本第49页和基础训练出现了这样两道题(见图1)

4、o也是让我们教 师教的很抓狂的题，学生能关注到正比例的两种量的变化方向，却很难get到这种变 化方向后的本质，不能正确判断。不仅如此，学生画出的正比例图像竟然是线段， 有的还拐弯。正比例意义教学之后，学生完成了这样一道题(见图2),从学生的答 题中发现：学生已经从数的角度得出出水量和出水时间成正比例了，可画出的正比例 图像竟然是线段，还拐弯了。细细想来，从学生的角度出发，这种错误也情有可原。 学生已有的经验是在学习折线统计图时的描点与连线，学生是把那时的经验迁移所 致。可见，小学数学概念是多么难学。2.判断下面每脑中的两肿量是否成正比例美系.并说明理由。 (I )小学生作文的单价一定.订阅的费

5、用与订阀的数 (J)正方体的表面枳与它的校长3利断下面各M中的两种鼠是否成正比例关系并说明理由.(4)剧的李径和它的面积. M妫后比A 钳憎期及出水（）1 M 21 M 。- 11赶的,你E%*的*赠M良加3 0阳电删打fli*R*S央第*水l. f府达IeIiMl/.出拗012）46二、小学数学概念为什么这样难学1 .概念的内容是抽象的。数学概念为什么这么难学？宋乃庆认为，数学概念是客观世界中数量关系和空 间形式的本质属性在人们头脑中的反映，它是用数学语言和符号揭示事物的共同属 性的思维形式。其学术形态是高度概括、精确的语言。在小学数学课本中，概 念常常是以简短的文字呈现的。在抽象的文字中往

6、往包含着子概念。例如：人教版 六年级下册课本呈现的正比例概念（见图3）,短短的几行字中就包含相关联的 量变量比值一定等字眼。对六年级学生而言，理解静态的离散的数比较容易， 要感知动态的、连续的、变化的量，而且还要理解量变化现象的背后是比值一定， 很困难。像这样两种相关联的fit. 一种餐变化,另一肿片也随着变化.如果这两 种量中相对应的两个数的比值一定.这两片量就叫做MUE比它们的关 系叫做正比例美IL上*式中的敢掘如何以用M能 to图3,图42 .概念的呈现方式是静止的。抽象的数学概念，如图文并茂，可有助于学生理解。但教材因篇幅限制，图示 往往较少，并且是静态的。学生看到的是思维的结果，而看

7、不到思维的过程。如教 材给出了正比例图像（见图4）。正比例图像是如何形成的？看似很像折线统计图, 它有哪些特点？ 学生不得而知。3 .小学数学教材中的概念呈点状分布。小学数学教材中概念编排呈螺旋式上升结构，对应了小学生思维由简单到复杂 的特点。同时，小学生的思维还具有连续性、整体性的特点，小学数学教材中概念 的点状分布也给学生整体构建概念带来困难。例如：在小学三年级学了分数的初步 认识之后，在三年级下册和四年级并没有接着学习分数，在五年级下册继续学习分 数。这样的编排方式割断了学生对数概念整体性结构的认识。三、学生形成数学概念的思维路径。关于数学概念的形成与建构，发展心理学、认知心理学和教育心

8、理学开展了许 多研究，著名的成果有杜宾斯基的APoS理论，该理论被誉为近年来数学教育界最大 的理论成果之一。该理论认为概念形成经历四个阶段：活动阶段、过程阶段、对象 阶段和图示阶段。2一般来说，先经历上一阶段再进入下一阶段是学习概念的有效 方式。（见图5）多/ 杜宾斯基的APOS理论a BIGW H体实例、抽收过加、/念定义、他,/ j * FBr概念的M肘和联系等纨成的毋C4玮图不应陟/ 对屹衿履 将Ift念作为一个独立的时T世仃各种后：X阶以I过现阶质描述与分析N复出糙急的本质阶收 劝阶及为幡金的形成捷俱以体实低阶段图5义务教育数学课程标准（2011版）指出，数学是研究数量关系和空间形式的

9、 科学。数与形是数学的两大研究对象，也可以认为是数学知识的表征形式。 形主要提供研究的对象和辅助思考的工具，数则是为研究提供必要的工具、方法、 视角，将研究向更深入、更抽象方向引领的关键。通过对学生学习概念的现状、学 习难度分析，学生形成概念的思维路径的学习，我们提出了基于数形结合的小学 数学概念教学的实践研究，以课堂教学研究为主线，开展了一系列较为深入的教 学探索实践，运用数形结合的方式，让学生亲历概念的形成过程，使抽象的数学概念变得直观、形象，继而掌握概念本质，构建系统的数学知识体系，进而获得思维 能力和核心素养的提升。四、基于数形结合的小学数学概念教学策略近年来，我们提炼出以下基于数形结

10、合的小学数学概念教学策略。策略一，数形表征前概念，激活概念生长点。前概念，指的是学生在概念学习之前在生活和学习过程中形成的对概念的认知 和了解。把陌生的知识放到学生熟悉的情境中，既可激发学生学习兴趣，又可激活 学生思维。在概念教学中，以前概念为起点，从数与形的角度激活前概念，打通前概念与 概念的通道。例如：人教版教材对周长是这样定义的：封闭图形一周的长度，是它 的周长。学生没有一周的经验，但有一圈的生活经验，体育课上有围绕操场跑步的体 验。生活中的一圈可以抽象成数学中的一周。我设计了这样的学习活动：乐乐 进行体育锻炼，每天围着操场跑一圈，他跑对了吗？操场一周有多长呢（见图6）? 本案例中，创设

11、乐乐操场跑步的情境，激发学生的前概念一圈。通过3次跑一 圈的对比，将前概念一圈抽象为数学概念一周，初步建立一周之形表象。通过 测量和计算操场的周长，使学生将周长与一周的长度建立关联，为从数形结合的角 度理解周长概念搭好桥梁，作好铺垫。图6策略二，数形表征操作，积累概念表象。概念表象就是通过感官形成的对概念的感性认识。概念表象，对学生掌握概念 来说非常重要，感性认识丰富，表象就清晰，想象就生动，理解和掌握概念就更容 易。教学中重视引导学生数形表征操作，促进操作经验的内化；并借助图形等中介， 逐步形成概念表象。L数表征操作。数表征操作指文字、数、代数式来表征概念，以及三者之间的 相互转换达成对概念

12、的理解。以正比例的意义教学为例：从数据变化的角度 初步认识相关联的量。相关联的量是正比例概念的上位概念，是学习正比例概念的 关键。何为相关联？ 对学生来说比较抽象。教学中，我出示四组材料（见图7）, 让学生观察感受：一个量变化，另一个量也随之变化，从而清楚地认识相关联的量，为理解正比 例关系作好铺垫。图7数、文字与代数式之间的转化表征正比例概念。出示一种丝带销售数量与总 价的关系表格（见图8）仔细观察，表中有哪两种量？你能发现总价和数量是怎 样变化的？相应的总价与数量的比分别是多少？比值是多少？ 借助3个关键问题，让学生 充分经历量的变化过程，发现总价和数量之间的变化规律，同时将目光聚焦到变化

13、 中的联系，并归纳出数学关系式，实现数、文字与代数式之间的转化来表征正比例。tW/种影曲侑件的IkIS与忌价晌K杀如卜8tQm1234567丁 A仰元3.5710.51417.52124.528 图82.形表征操作。形表征操作是指利用实物、图形、图像、符号等表征概念，并 通过图形的比较与动态变化达成对概念的理解。以正比例的意义教学为例：（1）数形对应，动态形成图像。将表格中的数量与总价看成一个个数对，把 它们表示出来，并按一定的顺序连起来，你发现了什么？这一条线段可以向两端延 伸，延伸到数对（0, 0）,数对（0, 0）表示什么？ 如果买了 a米这样的彩带，付 了 b元钱，a和b有怎样的关系？

14、 学生在数表征正比例概念时，已初步感知量的连 续变化特征。通过描点，连线，与原点沟通联系。同时利用多媒体动态演示，a和b 都是一对一对出现的（见图9） o随着直线不断向上延伸，学生清晰地感受到一种量 在扩大的同时，另一种量也在不断扩大。学生经历直观想象、抽象、建立模型等过 程，丰富正比例概念表象。图9数形对应，动态形成图像（2）在点的位置对比中明晰对应变量中的不变量。如果4米彩带16元，这个 点也在这条直线上吗？ 11米彩带38.5元呢？想一想：在这条直线上的点有什么特点？ 不在这条直线上的点呢？（见图10）教学中，我增加了 2组数据描点的环节，一个 点在这条直线上，一个点不在这条直线上。通过

15、正例与反例的对比，学生看清了两 个变量之间的关系，突破正比例教学难点，形成正比例图像，初步感受函数思想。图10策略三，数形表征沟通与转化，构建概念完整图示。数表征与形表征的信息可以相互选择和转化，数表征与形表征结合在一起进行 储存形成概念图示，可以丰富儿童对概念内涵的把握（见图11）,这是数形结合学 习概念的基本观念。以五年级分数的意义教学为例，设计学习活动：用多种方 法表征四分之三。图形表征出分数部分与整体的关系；数表征出分数的测量意义， 分数是数出来的；数轴表征实现了分数是一个数。通过数表征和形表征之间寻找关 联，学生体会到不同形态分数之间的结构性相似，从而抽象出分数的意义（见图 12） o再如：因数和倍数一课，学生从数的角度找出一个数因数和倍数的特点。 在此基础上，用数轴的形做支撑，从1乘几开始，一对一对往里缩，直至最中心， 从而理解一个数最小因数与最大因数的特点。通过数轴，更能直观的看出一个数因 数和倍数之间的联系，因数有头有尾，倍数有头无尾与线段和射线产生连接（见 图13） o数与形的沟通和转化，从整体上凸显因数和倍数的特征