初中几何模型：四点共圆模型.docx

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1、初中几何模型：四点共圆模型四点共圆：若在同一个平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称四点共圆.一、模型1：定点定长共圆模型（圆的定义）若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆.如图，若OA = OB = OC = OD ,则A , B , C , D四点 在以点0为圆心、OA为半径的圆上.例1、如图，点0为线段BC的中点，点A、Cs D到点0的距离相等，若NABC=40。，求NADC的度数.解：由题意得到OA = OB = OC = OD,作出圆0 ,如图所示，四边形ABCD为圆0的内接四边形，.ABC+zADC = 180o ,.ABC = 40 ,.ADC = 140

2、oo例2、如图，四边形ABCD中，DA=DB=DC, NBDC=72。，求NBAC的度数.解：如图,/DA=DB=DC ,.A、B、C在以点D为圆心的圆上.zBAC=BDC=36o.二、模型2:对角互补共圆模型 若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆.如图，在四边形ABCD中，若NA + C = 180 (或NB + D = 180)则A , B , C , D四点在同一个圆上.拓展：若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆.如图，在四边形ABCD中，ZCDE为外角，若NB = NCDE ,则A , B , C , D四点在同一个圆上.例1、已知：如图，四边

3、形ABCD中，AC平分NBAD , B+D=180o .求证:BC=CD .B解:zB+zD=180o As Bs Cx D四点共圆。/AC 平分NBAD.zDAC=zCABBC=CD三、定边对双直角共圆模型异侧型同侧型1、定边对双直角模型（同侧型）若平面上A、B、C、D四点满足NABC=NACD=90 ,贝h A、B、C、D四点共圆，其中AD是直径.2、定边对双直角模型（同侧型）若平面上A、B、C、D四点满足NABC=NADC=90 ,贝h A、B、C、D四点共圆，其中AD是直径.例 1、如图,四边形 ABCD 中，AC=BC , zACB=90o , AD_LBD 于点 D ,若 BD=2

4、 , CD=4y2,求线段AB的长.解:. zACB=90o, ADBD 4 B、Ds C四点共圆，且AB为直径 作CFCD ,交AD于点F , AD与CB交于点E,如图所示zABC=45o.ADC=45o , 4CFD是等腰直角三角形/.FD=CD=8CDCF/.CF=CD. zCAF=zCBD , AC = BC.AFCCBD.AF=BD=2.AD=AF+FD=2+8=10/.AB=yAD2 + BD2 = 102 + 22 = 2y26例2、如图，等腰RfABC中，NACB=90。，D为BC上一点，连接AD。作BEAD延长线与点E,连接CE ,求证:zAEC=45o.证明：等腰 RtAB

5、C 中，zACB=90/.AC = BC , NABc=NCAB=45。BEAD , .AEB=90o.AEB=zACB. A B、E、C四点共圆.AEC=zABC=45o.四、模型4:定弦定角共圆模型 若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个 端点共圆。如图，点A , D在线段BC的同侧，若NA = ND ,则A , B , C , D四点在同一个圆上.例1、如图，已知ABC是等腰直角三角形，点D在线段BC上，四边形ADEF是正方形，连接FC,求证：FCBC.F证明：如图，连接DF四边形ADEF是正方形.zAFD=45oABC是等腰直角三角

6、形.ACB=45o.zAFD=zACB.As Ds C、F四点共圆zFAD=90o , FAD+zDCF = 180o/.zFCD=90.FCBC.例2、如图，在RfABC中，NBAD=90。，NABC=40。，将MBC绕A点顺时针旋转得到ADE ,使D点 落在BC边上.(1)求NBAD的度数；(2)求证：A、Ds Bs E四点共圆.解：（1） RbABC 中，BAD=90o , ABC=40o/.zC=50o将MBC绕A点顺时针旋转得到MDE ,使D点落在BC边上/.AD=AC.ADC=zC=50o.ADC=zABC+zBAD = 50o.zBAD=50o-40o=10o.证明：（2 ） .将BC绕A点顺时针旋转得到ADE/.zAED=zABC As Ds Bs E四点共圆.