信号与系统(应自炉)习题答案第2章习题解.docx

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1、第2章习题2-1求以下齐次微分方程在给定起始状态条件下的零输入响应1)XO+34x0+2X0=0；给定：y(5)=3,Ny(OD=2；atatat2，y)+4y)=0；给定：y(0J=19y(0J=1；23) yy(0+2y(Z)+2y(t)=0；给定：y(0_)=1,y(0_)=2；atatat24) yy(0+2y()+y(t)=0；给定:j(0_)=1,y(0_)=2；dtatat73727i72-X0+2-y+-y=0;给定：XOJ=1,-XOJ=1-y(0J=2odtdtdtdtdt12T7-XO+4-XO=O;给定：oj=9-oj=2Odtdtdt解：1)微分方程的特征方程为：3+

2、34+2=0,解得特征根：4=-1,右=-2.因此该方程的齐次解为：%=AH+Be”.由y(0)=3,y(0)=2得:A+6=3,A26=2.解得:A=8,6=5.dt所以此齐次方程的零输入响应为:y=8二-5叱2微分方程的特征方程为：22+4=0,解得特征根：4,2=2i.因此该方程的齐次解为：yh(t)=ACoS(2%)+BSin(2力.由y(0)=1,_火0)=1得:A=I,28=1,解得:A=1B=上dx2所以此齐次方程的零输入响应为:y(0=s(20+sin(20.3微分方程的特征方程为：川+24+2=0,解得特征根：4,2=T，因此该方程的齐次解为：%=(Acos(r)+BSin(

3、O).由y(0)=,Wy(O)=2得:A=1,5A=2,解得:A=1,5=3.dx所以齐次方程的零输入响应为:y)=(cos。)+3SinQ).4微分方程的特征方程为：22+22+1=0,解得二重根:42因此该方程的齐次解为：yh(t)=(At+B)e-t.由y(O_)=1,色武0_)=2得：5=1,A5=2,解得：人=3,6=1.所以该方程的零输入响应为:y()=(31+1).5微分方程的特征方程为：23+222+2=O,解得特征根：4,2=T,4=0.因此该方程的齐次解为：为=A+(Br+C)e-t.由y(O_)=1多丁(0_)=1,丁(。一)=2得：人+。=1,6。=1,。26=2.dx

4、dt解得:A=5,6=3,C=T.所以方程的零输入响应为:y=5-(3%+4)e-t.6微分方程的特征方程为：22+42=O,解得特征根：4=0,4=-4.因此该方程的齐次解为：yh(t)=A+Be-4f.由y(0)=1,y(0)=2得:A+6=1,T6=2.解得:A=,6=.dx2231所以此齐次方程的零输入响应为:XO=H222-2系统的微分方程和鼓励信号，求系统的零状态响应。y(%)+5y+6y(%)=3x(%),x(%)=etu(t)；y+3y(t)+2y(t)=x(t)+4x(0,MD=e2tu(t)；3y(t)+3y=X(Z1)+X(Ux(1)=e2tu(t)；dtdt1+4*+4

5、Y=3/+8x(%),X(D=MDo解：727将X(Z)带入到原方程得到：XO+5XO+6y(%)=3e-tu(t)特征方程为：丸2+54+6=0,解得特征根4=-2,4=3.因此该方程的齐次解为：然Q)=AG，+Be.可设其特解为:yp(t)=ce-t,将yp(t)=ce-t代入上述微分方程,有：121Q涯(CeV)+5/(CeT)+6(ce-)=3e-,解得特解为：y=_e-3可得完全解:XO=+Be-+e-t.根据冲击函数匹配法，系统在0_Vtv0+时的微分方程：121涯y(,)+5区W)+6y()=3AM),得到:从而有:y(0+)=y(0-)+a-0y(0+)=y(0-)+Z?=03

6、将y=Ae-2t+Be-3t+e-t代入得：33故系统的零状态响应为：y=(-e-t+e-3t-3e-2tMt)22。121将x(t)=e-2tu(t)带入原方程得到：港XO+3y(0+2y(t)=3)+2e-2tu(t)微分方程的特征方程为：力+34+2=0,解得特征根%=-1,4=-2,该方程的齐次解为:%=AeT+&口可设其特解为:yp(t)=kte-2t代入上述微分方程,解得特解为：yp(t)=-2te-2t.可得完全解:y)=+B/Iie1t根据冲击函数匹配法，系统在0_Vtv0+时的微分方程:727犷附+3浦+2W+2Ag,得到:将弋入得:系统的零状态响应为：y=-3e-2t+3e

7、-t-2te-2t3将x(r)带入到原方程得到：y(0+3y(0=3)e-2tu(t)特征方程为：2+3=0,解得特征根4=-3.因此该方程的齐次解为：yh(t)=Ce-I可设其特解为:7(。=展一，代入上述微分方程，解得特解为：yp=-e-2t.可得完全解:y(t)=Ce-3t-e-1tu(t根据冲击函数匹配法，系统在0_Vtv0+时的微分方程:X0+3y=(t)-加,得至I：dt从而有:将y=Ce-3t-e-2t代入得：C=2y(0+)=y(0-)+1=1y(0+)=y(0-)-4=-4故系统的零状态响应为：y=(2e-3t-e-2tMt)将X带入到原方程得到：夕y+号XO+8XO=35+

8、8u(t)特征方程为：23+422+82=O,解得特征根4=0,4=一2+21,4=22/因此该方程的齐次解为：yh(t)=A+Be2tcos(20+Ce-2tsin(2r).可设其特解为:%=Dt,代入上述微分方程,解得特解为：=可得完全解:y(0=A+Be-2tcos(2%)+Ce-2tsin(2%)+1.将y(t)=A+Be2tcos(2)+Ce-2tsin(2)+1代入得:由于方程不包含y(。项，C无法求出。13故系统的零状态响应为：y=-2r(-cos(20-sin(20)+t+C882-3系统的微分方程为邑y)+2y)=x(。，求以下鼓励信号下系统的零状态响应。dt(1)xt-e2

9、tu(tX(I)=eMo=ae2tu(t)+e3tu(t)X(O=U)M7)解：带入后微分方程为：，y)+2y)=H2勿Q)特征方程为2+2=0,解得特征根2=2。因此该方程的齐次解为：yh(t)=Ce2t设特解为yp(t)=kte-2t,带入得yp(t)=te-2t,零状态响应为:y。)=(Ce-2t-te-2tMt)由于系统的微分方程右侧没有冲击函数可以知道系统在从O-到0+时刻没有发生跳变，将y(O+)=O带入得到C=Oo故系统的零状态响应为:XO=b32：带入后微分方程为：-y(t)+2y(t)=e-3tu(t)dt)特征方程为2+2=0,解得特征根X=2。因此该方程的齐次解为：丫“3

10、设特解为yp(t)=品一夕,带入得“二冷,零状态响应为:y=(C2r-)由于系统的微分方程右侧没有冲击函数可以知道系统在从0-到0+时刻没有发生跳变，将y(0+)=0带入得到C=Io故系统的零状态响应为:y=(e-2t-e-3tMt)带入后微分方程为：*y(t)+2y(t)=Ie一2勿+万厂勿先求出系统的冲激响应，易知y()=Ac3,在。/+6gy+9y=：M%)+x),y(0_)=I,：y(0_)=1,(%)=CjMt)；atatataty+2y+5y=3二x()+5x(%),y(0_)=1乡y(0_)=1x(%)=u(t)。atatatat解：易知系统的齐次解：yh(t)=Ae-.零输入响

11、应:y(0_)=y(0+)=Ae0=1解得：%)=零状态响应:设“=B,代入得:8=1.所以%s=AH+1,在0_/0+时,设&y=Am。),即:A=1,A=1,所以:%=+1dt完全响应:y(t)=%+%。)=(-et+i+et)u(t)=M利用冲击函数匹配法可以知道起始点发生跳变。将鼓励函数带入后得到：*y(0+3y(。=3+2沅“)系统的齐次解：yh(t)=AH-.零输入响应:y(o)=(0+)=AeO=2。解得:yzi(t)=2H”.零状态响应:设“=代入得:B=g.故%=(Cef+葩o利用冲击函数匹配法可知y(O+)=1,即C+g=1,0=；。故。)=($一+必)方程的完全解y=力+

12、%=(+M0+2产。13)利用冲击函数匹配法可以知道起始点发生跳变。系统的齐次解：笫。)=AH+5，零输入响应:y(0)=A+B=2y(O)=-2A36=0.解得:为)=6e-2t-4e-3t.dt零状态响应：设y*)=6,代入得：B=./SQ)=Ae一二+-+/,在0t,y(t)+5y(0+6y(t)=6(0+3w()设y(%)=a(0+bAu(t),y(t)=dtdtdtdt93y=0代入解得:=6/=27.解得:yzs(t)=3e-2t-1广+.e.o3方程的完整响应：y(t)=yzi+VzsO=(3e2te3t+e-tMt)+6e-2t-4e-3t。利用冲击函数匹配法可以知道起始点发生跳变系统的齐次解：为=(4+或，零输入响应：由y(0)=1,&y(O)=1,解dt得:A=41=1.%=(+1)邛，零状态响应：设为=CH匕代入得C=1.%=(4+B)e-3t-冷)。0,r0+721时,-JTy(0+6-y(t)+9y(t)=(t)-A”,dtdt贝Uy(/)=a(O+w(O,&y)=1A(1),y(z1)=O,解得：Q=1Z?=7.得dtdt至U：A=2,6=1.%=(Qt+