专题6.6：数列中的数阵(数表)问题的研究与拓展.docx

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1、专题6.6：数列中的数阵(数表)问题的研究与拓展【课本溯源】1934年，东印度(今孟加拉国)学者森德拉姆(SUndaram)发现了“正方形筛子47101316710131612172227172431382231404927384960(1)这个“正方形筛子”的每一行有什么特点？每一列呢？(2)“正方形筛子”中位于第100行的第100个数是多少？解：(1)这个“正方形筛子”的每一行与每一列都是等差数列；(2)因为第100行的第1个数%O(U是第1列的第100个数，而第1列的数组成以4为首项，3为公差的等差数列，通项公式为册1=4+(一I)X3=3+1，故0o=3x100+1=301；第100行

2、的第2个数aw02是第2列的第100个数，而第2列的数组成以7为首项，5为公差的等差数列，通项公式为2=7+(-1)5=5+2,02=5100+2=502.所以，第100彳亍名且成以301为首项，502-301=201为公差的等差数列，通项公式为I。,”=301+(-1)x201=205+100,从而第1。行第1。个数为0100100=201100+100=20230.【探究拓展】探究1：求数阵所暗示的规律(通项公式)观察：11+2+11+2+3+2+11+2+3+4+3+2+1(1)第100行是多少个数的和？这些数的和是多少？(2)计算第行的值.【解答】(1)第100行是199个数的和，这些

3、数的和是2(1+2+100)100=10000；(2)第彳亍的值是1+2+3+n+3+2+1=2(1+2+n)-n=n2.变式：(2004年春季高考.北京，20)下表给出一个“等差数阵7)()(712()()()。2j()()()()()。3,()()()()()。4ja/1ai2ai3aMai5其中每行、每列都是等差数列，.表示位于第i行第，列的数.(1)写出“45的值；(2)写出。U的计算公式;文史类：写出时的计算公式以及2008这个数在等差数阵中所在的一个位置.(3)证明：正整数N在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.【解答】(1)=49.(2)该等差数阵

4、的第一行是首项为4,公差为3的等差数列：1y=4+3(7-1).第二行是首项为7,公差为5的等差数列：=7+5(7-1)第，行是首项为4+3(7-1),公差为万+1的等差数列，因此，%=4+3(，_1)+(2，+1)(/_1)=27+1+/=，(2/+1)+八文史类：要找2008在该等差数阵中的位置，也就是要找正整数，工，使得2)+/+/=2008,所以尸2(X)8-2z+1当i=1时，得j=669,所以2008在等差数阵中的一个位置是第1行第669歹J(3)必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整仃使得N=2+1)+J,从而2N+1=2i(2j+1)+2j+1=(万+1)(2)+1)，即正整数

5、2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数左使得2N+1=(正+1)(2/+1),从而N=左(2+1)+=%,可见N在该等差数阵中.综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.探究2：求数阵中指定的某些项(2008年高考江苏，10)将全体正整数排成一个三角形数表：2345678910按照以上排列的规律，第行(3)从左向右的第3个数为.【解答】通过列举、分析、归纳、猜想，前行共有1+2+3+个数，即共有个，因此2第行第3个数是全体正整数中第一

6、+3个数，即+622变式：将自然数排成如下的螺旋状：212273226t1207891027ft；I71一？1128!彳IIIII,17*-16-15*-14*-13第一个拐弯处的数是2,第二个拐弯处的数是3,第20个及第25个拐弯处的数分别是,【解答】由图可知，前个拐弯处的数依次是2,3,5,7,10,13,17,21,26,，这是一个数列题目，要求找出它的第20项和第25项各是多少，因此要找出这个数列的规则，经观察，该数列的后一项减去一项，得一新数列1,2,2,3,3,4,4,5,5,把数列的第一项添在数列的前面得2,1,2,2,3,3,4,4,5,5,观察数列，发现原数列的第项应就等于数

7、列的前项和,即q=2,%=2+1=3,%=2+1+2+2=7,故第20个拐弯处的数)=2+1+2+2+10+10=1+2(1+2+10)=I11a25=2+1+2+2+.+12+12+13=170.方法二:设第，个拐弯处的数为4，显然a=2,a2i=a21+i,+1=+(z+1)-20=210,25=212+1,=1+2(1+2+10)=11,=1+2(1+2+.+12)+13=170.【评注】方法一到方法二由具体到抽象，体现出思维不断优化的过程。解决数表问题，需细心研究其元素的排列的规律，即构成数列的元素，或数列的项是按照何种规则排列而成的，有时即使找到排列的规则，但如果不能对所发现的规律所

8、蕴含的信息进行整理再加工，解题同样会误入歧途.探究3：求数阵中某指定项的位置全体正奇数排成下表:1357911131517192123252729其构成规律是：第行恰有个连续奇数；从第2行起，每一行第一个数与上一行最后一个数是相邻奇数,则2005是第行的第个数.【解答】行共有1+2+.,+=迹上个奇数，2因此，第行的最后一个数是2x迎上1=1+”12从而第行的第一个数是(2+-1)-2(-1)=n2-+1,2-+120052+-1,角星得=45,2-+1=1981,故2005是第45行的第加个数，贝J2005=1981+(m1)x2,得根=13.故2005是第45行的第13个数.探究4：求数阵

9、中所有项或某些指定项的和/个正数排成行列(如下表)，其中每行数都成等差数列，每列数都成等比数列且公比都相等.已3n知%4=1，。42=-，43=-，贝IJ=-IOk=Q11ana!3%4aIna2122%3。24aIna31a31。33a34a3na41“42a43。44anan1an34anna24=(11+3d)q=1,【解答】设第一行数列的公差为d,各列数列公比为9,则有=(勺+d)/且所有数均为正数,83。43=(%1+22)9=77，116111c角翠得ciijd=,故t=aikQkI=IA1+(V)dqk变式2：下图给出一个三角形数阵:4,433,8,16已知每一列的数成等差数列，

10、从第三行起，每一行的数成等比数列,第4列的数为%(W,KN*).(1)求为3；(2)试写出为关于，工的表达式；(3)记第行的和为A”，求数列A的前加项和纥的表达式.【解答】由题意知，%为等差数列，因为勺=；,=,所以公差d=；,(8-1)i=2.又各行成等比数列，公比都相等，=,=,所以每行的公比都是4=；,所以为3=2x；：=；.二.从而有*+黄由-,得I=15+F-2m+1=1-12根2根+12m+1所以，Bm.m(m+1)+机+2变式3：下图是一个三角形数阵，已知每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列且每一行的公比都相等，记第，行第/列的数为%(iJ,iN*).12,1(

11、1)求。43.(2)用iXj表示气.(3)设这个数阵共有行，求数阵中每行最右边的数的和.【解答】(1)由已知第四行是首项为4,公比为;的等比数列，二%3=4；=1.由已知第Z行是首项为1,公比为;的等比数列，=zQJ.(3)由(2)每行最右边的数为.%=4；(1z).S1+2+31j+Jj拓展1：已知整数数列斯满足：Qi=I,42=2，2a-1an-i+an+2).(1)求数列斯的通项公式；(2)将数列斯中的所有项依次按如图所示的规律循环地排成如下三角形数表:依次计算各个三角形数表内各行中的各数之和，设由这些和按原来行的前后顺序构成的数列为d,求A+b1OO的值;(3)令金=2+加什2%TS为大于等于3的正整数)，问数列金中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由.【解答】因为数列斯是整数列，所以斯是整数，所以2斯-1,an-i+an+,2an+1都是整数，又2斯1斯_1+斯+13时，b=2n+(n-2)b2n-1(n-2)b2n-14b,这与b3矛盾，这时等式(*)不成立.综上所述，当厚4时，数列金中不存在连续三项成等比数列；当