【代数法】存在性问题之等腰三角形.docx

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1、【代数法】存在性问题之等腰三角形一、两点间距离公式设两个点A、B以及坐标分别为(的,加)、(Z2,z2 ),则A和B两点之间的距离为：MBl = 丁31 劣2产 + (41 一 统)2二、例题讲解例Is如图，已知抛物线解析式为y=-x2+2x + 3 ,与X轴交于a、B两点，与y轴交于点C。在抛物线对 称轴上是否存在一点Pf使得PCB为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的 P点坐标；若不存在说明理由？分析：根据题意我们可以求出Bs C点坐标,分别为(3,0) , (0,3),P点是抛物线对称轴上一动点,所以需要先设P点坐标,既然P点在x=l这条 直线上,所以横坐标为1 ,则设P点坐标为(Lm)

2、,分别计算BC、PCs PB的长度，使用两点间距离公式，但是一般我们使用平方 来表示，即：BC2 = (0- 3)2 + (3- O)2 = 18PC2 = (1- O)2 + (m 3)2 = n2 - 6m + 10PB2 = (1 3)2 + (m O)? = 2 + 4下面分别以不同的点为顶点进行分类讨论：当PB = PC时(以P点为顶点),则：m2 4 = m2 6m + 10 ； 当BC=PB时(以B点为顶点),则：18 = Tn 2 + 4 ；当BC=PC时(以C点为顶点),贝$:18 = m2 6m + 10计算上面三种情况下m的值，但是还需要进行检验，可能求出的P点刚好与B、

3、 C共线呢？所以还需要求出BC所在直线的解析式，将上面的点代入到解析式中 进行验证即可。解：由题意得，B、C点坐标分别为(3,0) , (0,3),设P点坐标为(Lm),则： (1)当 PB = PC 时，即:BC2 = (0- 3)2 (3- O)2 = 18PC2 = (1- O)2 + (m- 3)2 = m2 - 6n + 10PB2 = (1 - 3)2 (n - O)2 = Tn2 + 4解得：m = l P(Ll)(2)当 BC=PB 时,即:18 = m2 + 4 ；解得：m = 14P(l,) Ep(1,-I4)(3 )当 BC=PC 时,即:18 = m2 6m + 10解

4、得：m = 317P(l, 3 + T7)或 P(l, 3 - 17) B、C点坐标分别为(3,0) , (0,3)/. BC所在直线的解析式为：y=-x+3经检验,以上各点都不在直线BC上综上所述：满足BCP是等腰三角形的P点坐标为：(1,1)、(1,14)、(1,-14)、(1,3 + I7)、(1,3-I7).例2、如图，抛物线y = ax2 + 4交X轴于A(3,O) , B (4,0)两点，与y轴交于点C,连接AC, BC .点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m.(1)求此抛物线的表达式；(2 )过点P作PM，X轴，垂足为点M , PM交BC于点Q.试探究点P在运 动

5、过程中，是否存在这样的点Qf使得以A , C , Q为顶点的三角形是等腰三角 形,若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；分析：本题中A、C都是定点，P是抛物线第一象限内的一动点，则Q点也是一 动点,且在线段BC (不含B、C两点)上运动,所以本题需要先求出BC所在 直线的解析式，然后根据等腰三角形存在性问题代数法求解即可。解：(1)将(-3,0),(4,0)代入抛物解析式得：(90-3b + 4 = 0116 + 4 + 4 = 0解得：所以抛物线的解析式为：1 2 1 ,g = 一铲+铲+ 4(2)V抛物线的解析式为：1 2 1 ,y = - + w+ 4 OO. C点坐标为(

6、0,4) C(0,4),B(4,0)BC所在直线解析式为：y=-x+4Q点是直线CB上一动点,设Q点坐标为(m,-m+4 ) A ( -3,0 ) ,C ( 0z4 )松=25,CQ2 =Tn2 + (_m + 4-4)2 = 2m2 , AQ2 = (n + 3)2 + (-m + 4)2 = 2m2 2m + 25(1)当 AC=AQ 时，即：25 = 2m2 2m + 25解得：m=0（舍去）或m = l PQ,3）（2）当 AC=CQ 时，即：25 = 2m2解得：m=2或巾=一32（舍去）22（3）当AQ=CQ 时，即：2m2 = 2m2 - 2m + 15解得：15 n= 2（舍去）综上所述：满足ACQ是等腰三角形的Q点坐标为：（1,3）、（挈4 一竽）.三.使用代数法步骤L先计算出三角形每边的距离，采用两点间距离公式，通常用平方表示;2、以各点为顶点，分类讨论腰相等三种情况，建立方程并求解；3、检验所求点是否符合题意，不符合则舍去。