数值分析-方程组题库.docx

《数值分析-方程组题库.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值分析-方程组题库.docx（14页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、例 5-10 求矩阵 Q 的IIQI, IlQll2, |。5与 COnd2(Q),其中T 11 P-11-11Q = 1 TTl/分析 这实际上是根本概念题，只要熟悉有关范数与条件数的定义即可。解答 1由定义，显然1101=412)因 QTQ=4L 故IlQIl2= JM3 = Z = 213由定义显知Il Qll00= 4 因 QTQ=41,故QT=IQJ 从而(QT)T(QT) = LQQT 4161 Il2=2max(-1)r(-1) =KXGQQT) =UaX I)=：V 16V 42所以COnd2(。)=II Q2Q-12=2 = 1例5-12设有方程组AX=b,其中q 0 115

2、A= 2 2 1 , b=-3。2 2J )2它有解X= -1 .如果右端有小扰动Il%IlOO = LXl0-6,试估计由此引起的解的相对误差。 320V )分析此题是讨论方程组的右端项的小误差所引起的解的相对误差的估计问题，这与系数矩阵的条 件数有关，只要求出COndOO(A),再由有关误差估计式即可算得结果。解答容易求得Jl1-PA1 = 2 11.5,从而 Conds(A)=22.21-1,由公式外(A).U有IIXLbL-106IgXLO 22.5XZ= 1.68751052/3例5-13试证明矩阵A的谱半径与范数有如下关系P(A) A其中IlAlI为A的任何一种算子范数。分析 由于

3、谱半径是特征值的绝对值的最大者，故由特征值的定义出发论证是自然的。 证明 由特征值定义，对任一特征值有AX=X (X0,特征向量 取范数有lAX= . IIXII由于范数IlAIl是一种算子范数，故有相容关系lAXA . IIXII从而I xA . IIXII由于,故A,从而P(A) 0, i=l,2,n；2) A2也对称正定；(3) aii,i = 2,3,;(4) max I a? max ajj 。 2i,jn j 2i,jO, i=l, 2, , n其中G=(O,0, 10,0) 为第i个单位向量O2)由A的对称性及消元公式得i,j = 2,H故A2也对称。又aIl0a：4=L1A其中

4、显然LI非奇异，从而对任意的x0,有Ix 0,(x, L1ALx) = (Lx,ALx) 0由 A 的正定性)aIl0，而生0,故A?正定。3因A正定，故ai0,故由消元公式有2/ 0、Q Q -(Iii Clii- ci -,i 2,3, ,QIlan先设I= max I af ,取 ,07 2i,jnh jzo7oX = (O,0-1 ,0,O Sign(4?)，) jo 那么#4% = 4721。印io,与A2正定矛盾，故 z 1O1OloJo JoJomax I a,：) = 堀)2i,jn lj由m,3)有I QS,I= max I Qy) max aii = max a. 0 02

5、in2in2i,j。 2对任何实数c,有Il - J(CX)TA(M) =IClAZXTAX =I C I IlXlIA3因A正定，故有分解A=LLT,那么j_1J_Il x = (xAxy = (xLlJxy = (Lrx)(llx)y =II LrX Il2故对任意向量X和y,总有Il X + y IlA=Il Lr(x+y) 2= l/x + lly 2 UX 2 + Il Cy 2= X a +1IyIlA1综上可知，IIXh二(%瓜产是一种向量范数。例 5-例设 = (%L,证明IlAII=I是一种矩阵范数。 Z=I J=I证明 (n Ii Aat 0,且IlAll=OOA = 0。

6、 z=i J=I2对任意实数c,有Il cll=lzj =cazj I =I c Il ii z=l 7=1z=l 7=13A + B- M AII + mi z=l 7=1Z=I 7=1Z=I 7=1(4)AB=tttalkbkjtttalkbkj z=l j=l k=lz=l j=l k=l()() =lA. z=l k=lk=l j=l故IlAII是一种矩阵范数。例 5-19 计算 Cond(A)8及 Cond( DA)8；其中10IO21IO2IO4100310ITi0100D =IOlOl此结果说明了什么？10000-110010-1100Illl1110-111解 A-1 = -8

7、910Iaoo=10101, IIATlLll故 COnd(A) Oo=IIATlLJlIIAlLOIlllO89101010111110二 125968910111 一333110100ininHl1IoOIOOOO101011010110101_DA =100040703367 297297297(DA)T =100373733672702702704073367_297029702970 _Cond(DA)00 =IIJDAILlllI(D4尸 IlOo=IXF28 297计算结果说明了用对角阵左乘A可以改善其条件数。z2.0001 -17.0003T例 5-20 设 A=,b=， Ax

8、=b 的精确解为 x=(3,-l)T.-21-7(1计算条件数COnd(A)00; 假设近似解元= (2.97,LOI)由 计算剩余向量=、水;13)利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比拟。此结果说明了什么？M . 1 120000 2000113)而左端Cond(A)00 =H A-1 UJI Aoo40001 3.0001 120012r -b-Ax -7.0003-72.0001-2-1 2.971 -1.010.05-0.05由事后误差估计式，右端为Cond(A)00 X 120012 XWbL857192 = = 0.01UIL 3这说明当A为病态矩阵时，尽管剩余IlrlI很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用IkIl大小 作为检验解的准确度是不可靠的。例5-21设对称正定阵A 二2-1，试计算IlA-II2, IIAll2和Cond(A)2,且找出b (常数)及扰动3b,使Illl2Ilxll2Cond(A以七丁Il Il2= 22-42 + 3,故4 =1,4 =3,从而IIAIl2=1 4 =3, IlATlI2=| 4 |=1Cond(A)2 =凶=3IA I假设x+x=y, A(x+x)=b+b取 b=(l,-l)T, b=(l,l),那么解 Ax=b,即又解得X =4 2丫3