数列易错点.docx

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1、数列易错点【易错点1】求0时，易忽略n=l的情况.例12、12012高考北京卷数列%前n项和L且4 =l,q+ 。 求2，3，4的值及数列%的通项 公式。【易错点分析】此题在应用L与的关系时误认为= Sn 对于任意n值都成立，忽略了对n=l的情况的验证。易得出数列为为等比数列的错误结论。14161 II / 八解析：易求得 =-,a3 =-,a4 =。由 al =l,an+l =-sn 得 an =-sl(n2)故%+1_%=%1=刃(力2)得4+1=耳4(2)又。1=1, % =故该数列从第二项开始为等 1( = 1)S( = l)【知识点归类点拔】对于数列%与L之间有如下关系：an=0,前

2、n项和力，当机时，Sm=Sio问n为何值时L最大？【易错点分析】等差数列的前项和是关于n的二次函数，可将问题转化为求解关于n的二次函数的最大值，但易忘记 此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件。z、n(n- d n d解析：由题意知力=一= 3几+%此函数是以n为变量的二次函数，因为 a10 ,当机时，5m = s,故d 0即此二次函数开口向下，故由/(/) = /(周)得当X= 2 时O(X)取JI -H ZTZ得最大值，但由于n+,故假设/ +机为偶数，当=时，最大。2,4/ + ml当/ +机为奇数时，当=时L最大。_2_2 【知识点归类点拔】数列的通项公式及前n项和公式都可视为定义域

3、为正整数集或其子集从1开始上的函数，因此 在解题过程中要树立函数思想及观点应用函数知识解决问题。特别的等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数且没，有常数项，反之满足形如L =1+zm所对应的数列也必然是等差数列的前口项和。此时由1= +人知数列中: :nLS)I的点,- 是同一直线上，这也是一个很重要的结论。此外形如前n项和L=Ca-C所对应的数列必为一等比数:列的前n项和。i【练13】12011全国高考题设4是等差数列，L是前n项和，且 &，那么以下结论错误的选项是U A、d 。的等比数列。I求使/八+1 +4+14+2 4+2册+3成立的4的取值范围；II求数列七的前2项的和$2.【易错

4、点分析】对于等比数列的前n项和易忽略公比q二l的特殊情况，造成概念性错误。再者学生没有从定义出发研究 条件数列QQ+J是公比为4 (q0)的等比数列得到数列奇数项和偶数项成等比数列而找不到解题突破口。使 思维受阻。解：.数列% %+J是公比为q的等比数列，许+1许+2 =%A+闯，an+2an+3 =anan+1q2,由nan+l + an+ian+2 %+2%+3 得明册+1 + %+应 4z*+应 之 =/，即夕 ?一 夕一10)，1 y5解得0夕01求q的取值范围。答案：(1,0)_ (0, )【易错点5】在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的前 项和不会采用错项相减法或

5、解答结果不到位。例16、.2009北京理)数列2是等差数列，且 = 2,q+6+4=12 求数列4的通项公式 令2二%(%R)求数列也前项和的公式。【思维分析】此题根据条件确定数列为的通项公式再由数列2的通项公式分析可知数列2是一个等差数列和 一个等比数列构成的“差比数列”，可用错项相减的方法求和。解析：1)易求得qz =2n 由 得 bn = 2xn 令 SrI = 2x + 4x2 +6x3 + . +2wcn ( I )那么xyz =2x2+4x3+., + 2(z-l)xzl+2nxz+1 (II)用I )减去II注意错过一位再相减)得(I-X)S =2x + 2x2 +2x3 +2

6、x(l-xn) 1+ 2 - 2nxn+1 当 X 1 L =L - nxn+11-x1-xsn =2 + 4 + 6 + . +2m = fi( + 1)综上可得:2 XIT当xlsl= - - nxn+i 当 = 1 时 =2 + 4 + 6+ +2n = n(n +1-x1-x【知识点归类点拔】一般情况下对于数列1有g =4A其中数列2和%分别为等差数列和等比数列，那么：其前项和可通过在原数列的每一项的根底上都乘上等比数列的公比再错过一项相减的方法来求解，实际上课本上等比 I数列的求和公式就是这种情况的特例。【练 16】12010 全国卷一理)un =On + anib + an2b2

7、+ abn1 +bn N*,q 0/ 0)当 = Z?时,求数列为的前n项和L答案：Ql时X( + l)+2+n+1-a2+2an(n + 3当时L =-【易错点6不能根据数列的通项的特点寻找相应的求和方法，在应用裂项求和方法时对裂项后抵消项的规律不清，导致多项或少项。o 1 1 1例 17、求 = +1 1+2 1+2+3+1l + 2 + 3 + + 【易错点分析】此题解答时一方面假设不从通项入手分析各项的特点就很难找到解题突破口，其次在裂项抵消中间项的过程中，对消去哪些项剩余哪些项规律不清而导致解题失误。Y C+1)解：由等差数列的前项和公式得l + 2 + 3 + + = =-,-=

8、2(-),九取 1, 2, 3,，就分别得到!,一,一-愉+ 1) n n + 11 1 + 2 1 + 2 + 3Ci-1、一/11、一/11、一/1Sn - 2(1 -) + 2(- -) + 2(-) + + 2(22334n= 2(1 -) = +1M+11 1 1 111F HI2 +2 22 +4 32 +6n2+2n【知识归类点拔】“裂项法”有两个特点，一是每个分式的分子相同；二是每项的分母都是两个数也可三个或更多)相I 乘，且这两个数的第一个数是前一项的第二个数，如果不具备这些特点，就要进行转化。同是要明确消项的规律一般情， 况下剩余项是前后对称的。常见的变形题除此题外，还有其它形式，例如：求:)，,方法还是抓通项，即F= -(-n +2n n(j + 2)2 n1 %题会很容易解决。另外还有一些类似“裂项法”的题目，如：an =-r求其前项和，可通过分母有理n + n + l化的方法解决。数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。上o22 +1 42 +l 62+l(2)2+1【练17】12009济南统考)求和= + +-+-F n 22 -1 42