数值分析习题.docx

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1、第一章绪论习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比拟选择、误差和误差限的计算。1假设误差限为0.5x10-5,那么近似数0.003400有几位有效数字？有效数字的计算）2 % = 3.14159具有4位有效数字的近似值是多少？有效数字的计算）3 = 1.2031, b = 0.978是经过四舍五入后得到的近似值，问l + b, lxZ?有几位有效数字？有效 数字的计算4设x0, X的相对误差为5,求InX的误差和相对误差？误差的计算）5测得某圆柱体高度的值为=2052,底面半径厂的值为，=5cm, z-z* 0.2cm , r-/ 0.1cm,求圆柱体体积V = 71h的绝对误差限与相对误

2、差限。误差限的计算6设X的相对误差为,求y = x的相对误差。函数误差的计算7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为1%,问度量半径厂时允许的相对误差限为多大？函数 误差的计算18 设/“ =e1xnexdx,求证： 0，=1-/aS = 0,1, 2）2利用1中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。计算方法的 比拟选择）第二章插值法习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计 算和应用。1 /(-1) = 2,/(1) = 1,/(2) = 1,求/(x)的拉氏插值多项式。拉格朗日插值)2 y = ,0 =4,X1 =9,

3、用线性插值求J7的近似值。拉格朗日线性插值3假设管(J = 0,1,./为互异节点,且有(%-%0)(%-%1)(%-.-1)(%-%.+1) (%-XjIj =(Xj -x0)(xy _占)(Xj 一_1)(Xj -勺+1)(-Xn)试证明三/ (左= 0,1,.,)。拉格朗日插值基函数的性质) J=O4 sin0.32 = 0.314567, sin0.34 = 0.333487, sin.36 = 0.352274,用抛物线插值计算 sin0.3367的值并估计截断误差。拉格朗日二次插值)TTTT5用余弦函数CoSX在XO= O, X1=5三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值多项式，并T

4、T近似计算cos及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比拟。拉格朗日二次插值)66 函数值 /(0) = 6,/(1) = IOJ=46,/(4) = 82,/(6) = 212 ,求函数的四阶均差 /0,1, 3, 4, 6和二阶均差/4,1, 3 o 均差的计算7 设 /(x) = (x-x0)(x-x1)(x-xl)求 /x0 X1 xp之值，其中 P + l ，而节点XV = O,1,+ 1)互异。均差的计算)8如下函数值表X012419233建立不超过三次的牛顿插值多项式。牛顿插值多项式的构造9求一个次数小于等于三次多项式P(X),满足如下插值条件：P(I) = 2, p(2)

5、= 4, 2) = 3, p(3) = 12 o 插值多项式的构造)10构造一个三次多项式H(X),使它满足条件H(O) = I9H(I) = 0,H(2) = 1,H(1) = 1埃尔米特插值。311设/(x) = x/ =1/4,玉=LX2 =9/4。试求/(处在1/4,9/4上的三次埃尔米特插值多项式H(x),使得8(与)=/(马),/ = 0,12(%)=/(X1), H(Jo以升幕形式给出。(2)写出余项H(X) =/(x)-H(x)的表达式。埃尔米特插值及其余项的计算。12 假设/(x)句,/() = S) = o,试证明：max I / (x) I -(b - a)2 max f

6、ff (X) | (插值余项的应用axb8axb13 设/(2) =1,/(0) =。/(2) = 2,求 PCX)使 M%j) = )(z = 0,l,2);又设frx)0,证明用梯形公式计算积分，/(%)公所得到的结果比准确值大，并说明其几何意义。 梯形求积5用 =4的复化梯形公式计算积分,并估计误差。复化梯形求积 JIX6 设 f(-l) = 1, f(-O.5) = 4 J(O) = 6,/(0.5) = 9, J(I) = 2,那么用复化辛甫生公式计算J(x)dx ,假 设有常数M使|/(4) m,那么估计复化辛甫生公式的整体截断误差限。复化辛甫生公式17高斯求积公式 fxdx f(

7、0.57735) + /(-0.57735)将区间0,1二等分，用复化高斯求积法求定11积分J Cdx的近似值。高斯公式08试确定常数A, B, C和使得数值积分公式j(x)dx4-)+的(O)+7有尽可能高的代 数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为高斯型的？代数精度的应用和计算，高 斯点的特征)9设Pn (x)是0,1区间上带权夕(X) = X的最高次幕项系数为1的正交多项式系11)求己(X)。 构造如下的高斯型求积公式，j(x)公A0(x0) + A(X) 高斯求积第五章 线性方程组的直接解法习题主要考察点：高斯消去法，LU分解法，平方根法和追赶法解线性方程组。1用高斯消

8、去法解方程组高斯消去法的应用）2用LU分解法求解线性方程组2x1 + x2 + x3 =0:x1 + x2 + x3 = 3 CLU分解法的应用 x1 + x2 + 2x3 = 1-11-2，求A的LU分解。LU分解法的应用）-14试用“追赶法”解方程组AX 二人，其中：A =追赶法的应用，求COnd（A以条件数的计算）6 求证：1,范数的性质IIaII7求证：I那m卜同0范数的性质）8对矩阵A-211-2-21001-2，求ML, IA卜网2和COnd（A）2。范数，条件数的计算）9方程组AX = b,其中ARM, A是对称的且非奇异。设A有误差阴，那么原方程组变化为；H-4Ll I，其中4

9、和4分别为 卜+矶-IKA + A）x + x） = b,其中a为解的误差向量，试证明： 11 ll2,l A的按模最大和最小的特征值。范数的性质，误差的分析） 10证明：假设A =（附）曲为严格对角占优矩阵，那么A非奇异。严格对角占优矩阵的性质）第六章线性方程组的迭代解法习题主要考察点：雅可比、高斯-塞德尔迭代法解线性方程组，及其收敛性讨论。1证明：迭代格式X（AD=B/幻+/收敛，其中B0.9 00.3 0.80 迭代法收敛性判断）2假设用雅可比迭代法求解方程组QIIX + anx2 = b 。21% +。222 = b 2(见1出2 0)迭代收敛的充要条件是上” Io 雅可比迭代法的收敛

10、性) CLy j CL 223用雅可比、高斯-塞德尔迭代法，求解方程组x1 + Ix2 = 3 3x1 + Ix2 = 4是否收敛？为什么？假设将方程组改变成为3x1 + Ix2 = 4 x1 + 2x2 = 3再用上述两种迭代法求解是否收敛？为什么？雅可比、高斯-塞德尔迭代法的收敛性一 4 1 04证明解线性方程组AX = 的雅可比迭代收敛，其中A=I 2 1 o 雅可比迭代收敛性判断0 1 1121l5方程组AX = b,其中A=， b =0.3 1JL2.(1)试讨论用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解此方程组的收敛性。(2)假设有迭代公式X(AD= (%) +a(4%) +力)，试确

11、定的取值范围，使该迭代公式收敛。雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法和一般迭代法的收敛性讨论(1 cl6给出矩阵A二， 为实数，试分别求出。的取值范围：Qa (1)使得用雅可比迭代法解方程组Ax = 时收敛；(2)使得用高斯-塞德尔迭代法解方程组AX = Z7时收敛。雅可比、高斯-塞德尔迭代法及收敛性讨论)12_(1)设X是由雅可比迭代求解方程组AX = 所产生的迭代向量，且x()=(1,1)试写出计算X的 精确表达式。(2)设X*是Ax = b的精确解，写出误差IIX出*，的精确表达式。(3)如构造如下的迭代公式/S =X+g(A幻-切解方程组AX = Z7,试确定的范围，使迭代收敛。雅可比迭代及其收敛判断)x1 + 2x2 - 2x3 = 18对于给定的线性方程组 x1 + x2 + x3 =22x1 + Ix1 + = 311）讨论雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法的收敛性。2对收敛的方法，取初值X=（LO,O）,迭代两次，求出工，。雅可比,高斯-塞德尔迭代法的计算和比拟9证明对称矩阵IaaA = alaa a 1当-,l为正定矩阵，且只有当-!时，用雅可比迭代法求解方程组AX = Z?才收敛。雅 222可比迭代法的收敛性）第七章非线性方程求根习题主要考察点：二分法、迭