排列组合题型分析还有21种常用方法的整理.docx

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1、表示解：分二步：首尾必须播放公益广告的有Az?种；中间 4个为不同的商业广告有A44种，从而应当填A22 A44= 48.从而应填48.(3)对排列组合的混合题，一般先选再排，即先组合 再排列。弄清要“完成什么样的事件”是前提。三.基此题型及方法：1.相邻问题(1)、全相邻问题，捆邦法例2、6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一 起的不同排法有C )种。A720 B) 360 C) 240 D) 120说明：从上述解法可以看出，所谓“捆邦法”，就是在 解决对于某几个元素要求相邻问题时，可以整体考虑将相 邻元素视作一个“大”元素。(2)、全不相邻问题，插空法排列组合应用题的类型及解题策略一.

2、处理排列组合应用题的一般步骤为：明确要完成的 是一件什么事(审题)有序还是无序分步还是 分类。二.处理排列组合应用题的规律(1) 两种思路：直接法，间接法。(2) 两种途径：元素分析法，位置分析法。解决问题的入手点是：特殊元素优先考虑；特殊位置 优先考虑。特殊优先法:.对于存在特殊元素或者特殊位置的排列 组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊 元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫 做特殊优先法。例L电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商 业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广 告，那么共有 种不同的播放方式结果用数值 将其它元素排好，再将特殊元素插入，

3、故叫插空法。(3) .不全相邻排除法，排除处理例5.五个人站成一排，其中甲、乙、丙三人有两人相邻, 有多少排法？解：8 -看看-只耳或3A/A； =72例6.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位， 现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且 这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是2、顺序一定，除法处理或分类法。例7、信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信 号，现有3面红旗、2面白旗，把5面旗都挂上去，可表 示不同信号的种数是（）用数字作答）。解：5面旗全排列有M种挂，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能作一次的挂法，故有- = 10例8.某工程队有6项工程需要单独完成，其

4、中工程乙 必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完例3、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出 节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不同的排 法，解：先将6个歌唱节目排好，其中不同的排法有6!, 这6个节目的空隙及两端共有七个位置中再排4个舞蹈节 目有可种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目不得 相邻的排法为国用种例4高三(一班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈 节目不连排，那么不同排法的种数是A1800B3600(C) 4320D 5040解：不同排法的种数为M相=3600,应选B说明：从解题过程可以看出，不相邻问题是指要求

5、某 些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先例11：设集合 = 1,2,3,4,5选择I的两个非空子集A 和B,要使B中最小的数大于A中最大的数，那么不同的 选择方法共有A. 50 种B. 49 种 C. 48 种D. 47 种总计有49种,选B.例12将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2 的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该 盒子的编号，那么不同的放球方法有AA. 10 种 B. 20 种 C. 36 种 D. 52 种说明：元素多，取出的情况也多种，可按要求分成互 不相容的几类情况分别计算，最后总计。5、交叉问题，集合法（二元否认问题，依次分类）。例13、从6

6、名运发动中选出4名参加4义10。米接力赛, 如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参 赛方法？ 252成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是 o （用数字作答）解一：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中（插一个或二个），可得有耳+5义国=30种不同排法。解二：y =30例9、由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的6位数，其中个位数字小于十位的数字的共有（）A210 个B） 300 个C） 464 个D） 600 个解： =300 应选（B4、多元问题，分类法例10.某校从8名教师中选派4名教师同时去

7、4个遥远地区支教（每地1人）,其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,那么不同的选派方案共有 种共有600种不同的选派方案.第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总 数是.（用数字作答）。（答：78种说明：某些排列组合问题几局部之间有交集，可用集合 中求元素的个数的公式来求解。6、多排问题，单排法例17、两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个 座位，假设8名学生入座每人一座位），那么不同的座 法为A CgCg B） SC呢hD履解：此题分两排座可以看成是一排座，故有段种座法。J选D）说明：把元素排成几排的问题，可归纳为一排 考虑，再分段处理。7、至少问题，分类法 或间接法（排除处

8、理）例18.从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项 不同的工作，假设这3人中至少有1名女生，那么选派方例14、某天的课表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共六门课程，且上午安排四节课，下午安排两 节课。U)假设第一节不排体育，下午第一节不排数学，一共 有多少种不同的排课方法？(2)假设要求数学、物理、化学不能排在一起上午第 四节与下午第一节不算连排)，一共有多少种不同的排课 方法？例15、同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每 人从中拿一张别人送来的贺年卡，那么四张贺年卡不同的 分配方式有B )A6 种 B) 9 种 C11 种 D23 种说明：求解二元否认问题可先把某个元素按

9、规定排入， 第二步再排另一个元素，如此继续下去，依此即可完成。例16、安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不A3 O种 9 O种 1 8 O种 2 7 O种说明：含“至多”或“至少”的排列组合问题，是需 要分类问题，或排除法。排除法，适用于反面情况明确且 易于计算的情况。8、局部符合条件淘汰法例21.四面体的顶点各棱中点共有1。个点，在其中取4 个不共面的点，不同的取法共有 D A150 种 B147 种 C144 种 D141 种解：1。个点取4个点共有C1; 种取法，其中面ABC内的6个点中任取4个点必共面，这样的面共有6 个，又各棱中点共6个点，有四点共面的平面有3个，故 符合条件不共

10、面的平面有品4。：6-3 = 141案共有A 108 种B 186 种C 216 种）270种解析：从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选 派方案共有制-4二186种,选B.例195名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员. 现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,那么入 选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1 名新队员的排法有 种.（以数作答）【解析】两老一新时，有C；xC；M=I2种排法；两新一老时, 有C9x & = 36种排法,即共有48种排法.【点评】此题考查了有限制条件的排列组合问题以及分类 讨论思想.例20.将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，

11、每班至少1名，最多2名，那么不同的分配方案有B分配问题：随机分配，先组后排。定额分配，组合处理;例23。有9本不同的书：1分给甲2本，乙3本， 丙4本；（2）分给三个人，分别得2本，3本，4本。上 述问题各有多少种不同的分法？ （1）此题是定额分配问 题，先让甲选，有C；种；再让乙选，有C种；剩下的给丙, 有C：种，共有种不同的分法2）此题是随机分配 问题：先将9本书分成2本，3本，4本共有三堆，再将 三堆分给三个人，共有种不同的分法。例24：对某种产品的6件不同正品和4件不同次品 一一进行测试，至区分出所有次品为止，假设所有次品恰 好在第5次测试时被全部发现，那么这样的测试方法有多 少种可能

12、？解：第5次必测出一次品，余下3件次品在前4次被 测出，从4件中确定最后一件次品有C：种方法，前4次中 应有1件正品、3件次品，有种，前4次测试中的顺 序有A：种，由分步计数原理即得：CA： =576。【评述】此题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限 制，又有排列的问题，一般是先选元素即组合后排列说明：在选取总数中，只有一局部符合条件，可从总数 中减去不符合条件数，即为所求。9.分组问题与分配问题分组问题：均匀分组，除法处理；非均匀分组，组 合处理例22。有9个不同的文具盒：（1）将其平均分成三组;2）将其分成三组，每组个数2, 3, 4o上述问题各有多 少种不同的分法？分析：（1）此题属于分

13、组问题：先取3个为第一组，有种分法，再取3个不第二组，有堞种分法，剩下3 个为第三组，有种分法，由于三组之间没有顺序，故 有盘等种分法。2）同（1）,共有c；Cx:种分法，因三 禺组个数各不相同，故不必再除以可。练习：12个学生平均分成3组，参加制作航空模型活 动,3个教师各参加一组进行指导，问有多少种分组方法？个相同的小球分给三人，每人至少1个，有多少种方法？）分析：将10个球排成一排，球与球之间形成9个空 隙,将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板）， 规定由隔板分成的左、中、右三局部的球数分别为X. y. z 之值如图）OOO OOO OOOO那么隔板与解的个数之间建立了一一对立关

14、系，故解 的个数为C； =36个。实际运用隔板法解题时，在确定球 数、如何插隔板等问题上形成了一些技巧。下面举例说明：技巧一：添加球数用隔板法。例27.求方程x+y+z=10的非负整数解的个数。分析：注意到X、y、Z可以为零，故上题解法中的限定 “每空至多插一块隔板”就不成立了。怎么办呢？只要添 加三个球，给x、y、z各一个球。这样原问题就转化练习：1。3名教师分配到6个班里，各人教不同的班级, 假设每人教2个班，有多少种分配方法？ C；C；C； =902.将1。本不同的专著分成3本，3本，3本和1 本，分别交给4位学者阅读，问有多少种不同的分法？ C130C13!例25某外商方案在四个候选城

15、市投资3个不同的工程,且在同一个城市投资的工程不超过2个,那么该外商不同的投资方案有（）A. 16种B. 36种C. 42 种D. 60 种解析：有两种情况，一是在两个城市分别投资1个工程、2个工程，此时有C；.A：=36,二是在在两个城市分别投资1, 1, 1个工程，此时有Aj=24, 共有应选 D10.隔板法：隔板法及其应用技巧在排列组合中，对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒子中，每盒至少一个，求方法数的问题，常用隔板法。见下例：例26o求方程x+y+z=10的正整数解的个数。（即：10【小结】两种解法均通过减少球数将问题转化为例25、 例26中的典型问题。技巧三：先后插入用隔板法。例29。为构建和谐社会出一份力，一文艺团体下基层宣 传演出，准备的节目表中原有4个歌舞节目，如果保持这 些节目的相对顺序不变，拟再添2个小品节目，那么不同 的排列方法有多少种？分析：记两个小品节目分别为A、B。先排A节目。根据 A节目前后的歌舞节目数目考虑方法数，相当于把4个球 分成两堆，