02198线性代数201810.docx

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1、尸 1L行列式50I 2 -2A. -40B. TOC, IOD.402018年10月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数试卷（课程代码02198）本试卷共4页，满分100分，考试时间150分钟。考生答题注意事项：1 .本卷所有试题必须在答题卡上作答。答在试卷上无效，试卷空白处和背面均可作草稿纸。2 .第一部分为选择题。必须对应试卷上的题号使用2B铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。3 .第二部分为非选择题。必须注明大、小题号，使用0. 5毫米黑色字迹签字笔作答。4 .合理安排答题空间，超出答题区域无效。说明：在本卷中，/F表示矩阵Z的转置矩阵，/表示矩阵/的伴随矩阵，E是单位矩 阵，Hl表示

2、方阵力的行列式，KZ）表示矩阵4的秩.第一部分选择题一、单项选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。在每小题列出的备选项中 只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。43中元素4的代数余子式等于1(1 一八2设 =L则=A 3B. 一2C. 1D.43.下列矩阵中不是初等矩阵的是f 0 Oro 0 P“0 0、A.0 0B.0 1 0C.0 5 0D.0 1 0W 0 O7b 0 o)W 0 b16 0 br 1 2 T O4设分块矩阵/ = (%,%,%)，其中 G = l,2,3)是3维列向量，B= T 1 0 2J 1 3-1则y的第3列是A. Ctl -a2 2a3B. 21 +

3、a2 + a3C. -% +3%D. 2% -%5 .设向量组%,%线性无关，%,%，%线性相关，则下列结论中母建的是A, %,%线性无关B. %可由%，。2线性表出C.线性相关D. 4,%3。4线性无关第二部分非选择题二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。0 1 I6 .行列式1 0 1 =. 1 1 07 .若行列式，中元素%的代数余子式为&(b=1,2),贝!为42+%42=一8 . 矩阵(4 E)经初等行变换化为(El),贝Ij 5 =.(Q 1、9 .已知矩阵4二,贝IJZ2_2N+E =U Oj，10 .设向量 1 =(LLl)L %=(l,l,0)T, a3=(l5

4、0,0), H = (L2,3)1 则 由向量组名, %, 4线性表出的表示式为11 .设力是5x6矩阵，r(l) = 3,则齐次线性方程组ZX = O的基础解系中包含解向量的个数为，rI12.已知线性方程组0再、无解，则数13.设 = (l,l,-2)T是3阶矩阵Z属于特征值;1 = 2的特征向量，则力= 14.设儿=-2是阶矩阵力的一个特征值，则矩阵3E-4必有一个特征值是.15.若实二次型/(x1,x2,x3) = x12 +4考+4片+22玉正定，则数几的取值范围为三、计算题：本大题共7小题，每小题9分，共63分。16.计算行列式a22a1aba + b1b12b1的值.17.已知矩阵

5、/=求X.0、0 ,若矩阵X满足等式Y4 = 26 + X,118.设向量 = (l,-l,2)T, A = (1,3,2)T, RA = a 9 求4和Zn).余向量由该极大线性无关组线性表出.jfa4= 1的一个极大线性无关组，并将其20.设4为3x4矩阵，r(Z) = 2,且已知非齐次线性方程组ZX = b的3个解为7 = (1, - 1, 0,2), % =(2,1,-1,4)1 %=(4,5,-3,11)T,求(1)齐次线性方程组ZX = O的通解；(2)非齐次线性方程组4r = b的通解.U 33、21 .求矩阵力=0 21的全部特征值与特征向量，并指出/能否对角化.、04 -3,

6、22 .求正交变换x = ,将二次型/($户2)= 3再2+3考+4再9化为标准形，并写出相应 的标准形.四、证明题：本题7分。23 .设向量组,线性无关，且尸=占4+/+占4.证明：若，则向量组夕02，%也线性无关r3由于Z-E= 21(OO 1A4分,9分2分,6分绝密启用前2018年10月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数试题答案及评分参考（课程代码02198）一、单项选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。1. B2. B3. A4. C5. D二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。6.27. 02-2、8.A-19.2 2）10. = 3aa311. 312

7、.113. 1(2,2,-4)14.515.-22三、计算题：本大题共7小题，每小题9分，共63分。a2ab-a2b2-a22ab-a2b-2a100a2abb216.解 2a a + b 2b1 1 1ab -a2 b1 - a2b a 2b 2, a b + a.,= (b-) 2 =(6)17.解将等式X4 = 25 + X整理为X(l - E) = 25 2 1 0可逆，且(力一 E)T0 Oy得到X = 25G4-1尸 二 221 A 仅 0 2、 -2=020U 12 0 OyT)( 132、-1 (1,3,2)= -1-3-2264,4 二(夕 T)(jT)(夕 T) = a(a

8、)g = (a)9a18.解 A = a =r 1、乂夕Ta = (1,3,2) -1 =2、2 r 132、从而 H=29 = 29 -1 -3 -2J 64,9 1 -219.解 /4 =(a1,2,a3,a4) =4 1 4、2 0 3(c 31 0 一20 1 -20 0 0_2-1O所以向量组的一个极大无关组为国,心,且(极大无关组不惟一)9分 吃分5分9分20 .解(1)由题设知名=% - 7 = (1,2,I)1 %=% - 7 = (3,6,-3, 9)丁是Ar = 0两个线性无关的解，4分又“X = O的基础解系由= 4-2 = 2个解向量构成， 因此Zx = O的通解可表示

9、为a=kxa+k1a1,左左?为任意常数7分 13321.解 E-A= O -2-1 =(4-1)2(4 + 2)O 4 + 3故/的特征值为21=22=1, 23=-24分对于4 =%=1，求解齐次线性方程组(E-)x = 0,得到基础解系%=(1,O,O)T, %=(0,i)T从而4的属于特征值4 =乙=1的全部特征向量为占区 +/，其中占，总是不全为零的任意常数对于4=-2,求解齐次线性方程组(-2E-/)X = 0,得到基础解系。3=(3,1,-4尸从而4的属于特征值4 =-2的全部特征向量为&里，P 其中质是不为零的任意储薪7分因为3阶矩阵/有3个线性无关的特征向量，所以/可以对角化

10、9分22.解 二次型的矩阵为= (-5)(2-l)2 Z-J故力的特征值为4 = 5, 4 = 14分小对于4 =5,方程组(5E-)x = 0的基础解系。=,单位化得n/5对于4=1时，方程组(E-/)X = O的基础解系，单位化得I 1 jPlJ12,由此得到正交矩阵P = P则所求正交变换为* =今，12 12 )相应的标准形为/ = 5+ y9分四、证明题：本题7分。23.证 设存在常数，2，小 使得 2a2+33=2分将夕=左 + k2a2 + k3a3代入上式，得到1 (Kal + c2a2 + 43flf3 ) + t2a2 + t3a3 = 整理得 txkxa + (txk2 + t1)a2 +(r1Ar3 +3)3 =O4 分由于四。2，%线性无关，则必有tk =)2 +G =0% +A =。又已知K0,故依次推出4=0,G=O,4=0，从而,a29a3也线性无关7分