齐次化应用及其推广2公开课教案教学设计课件资料.docx

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1、齐次化及推广应用(续)二、齐次化推广应用从上面的论述及典例可知齐次化技巧一般用于处理如下题型J如上图1,平面直角坐标系xy内，过二次曲线r(%y) = O上的定点所作的直线IlfI2的斜率分别为klfk2 ,且与二次曲线的另一个交点分别为点EfF ,则若3AfBfC 使得A k1k2 + B (fc1 + k2) + C = O恒成立，则直线EF过定点或斜率为定值(亦即定点为无穷远点)，且该定点为 上述斜率关系引出的对合的心。但是，齐次化思想也可以应用在一些另类的斜率关系题型，尽管可能不是最优解法, 但也不输为一种不错的解法，下面就介绍一下有哪几种题型1、齐次化诱导斜率关系22【典例3】如图3

2、所示，AfB为椭圆E-.+ = 1 (a b 0)的左、右顶点,焦距长为2遍，点P在椭圆E上，直线PA, PB的斜率之积为-：.(1)求椭圆E的方程；(2)已知O为坐标原点，点C(2,2),直线PC交椭圆E于点M ( MfP不 重合)，直线BM, OC交于点G .求证：直线AP, AG$的斜率之积为定值， 并求出该定值.图3寸2解析：(1) + y2 = 14(2)设直线 kp k, cy4jvf =k2，则由题可知 G = BM = - 77 f BP = 4214 Zc1 由几何关系可得(马 - XG) + (XB - XG) = 2(久0 - KG)01+1_2_2心 G kBG Me1

3、0 kAG =42(% +2- 2)2+ y2 = 1+ y2 (% + 2) = O4(% + 2)2 4(% + 2)2= 4利用过定点C ,可设直线MRTn(% + 2)+9=l ,对椭圆方程进行恒等变形:+ y2 (% + 2)m(% + 2) + y2 = On k2 k/2 + (1/4 -Tn) = O (k = y/x + 2)再看一个例子，其背景是对合诱导的圆哥定理2【典例4】椭圆E: + y2b2 = 1 ( 6 0)的左焦点F(-2,0),点A为其左顶点。已知点F到椭圆上一动点P的距离的最大值为5 o(1)求椭圆的标准方程。(2)定点T(-l,l),直线PT与椭圆E的另一

4、个交点为点Q ,直线Ux =-4与K轴垂直。若记直线APfAQ与直线I的交点分别为点CfD ,证明以 CD为直径的圆过定点，并求出定点的坐标。解析：(I) + =l(2)利用齐次化证明(fc1 - 12)(c2 - 1/2) = - 31/36 ,设直线y = -：与直线I交于点K ,则上式表明kckd =If , 236若记O(CO)与y = :交于点MfN ,则由圆幕定理可得CKDK =MKNK = MK2 = INKI2 ,从而过定点(一4p,-2、齐次化多个交点推广【典例5】点AfBfC在双曲线Ex2a2 -y2b2 = l(afb 0)上，设AABC的 外接圆的圆心为点M ,证明：k

5、ABkBCkCAk0M = -b2a2 。证明：设点 B(x0fy0M(iaf) , OM 半径为 r 。与通常的齐次化的方法的思想类似，拆出来(%-%o (y-y0)以便于构造斜率。先对双曲线方程做代数变形O 0 + Xo)2 (y-y0 + yo)O X0)2 (y - y0)一符。)+符y y。)对圆的方程做代数变形(x-a-x0 + x0)2 + (y-y0 + y0)2 = 丁0 -2(%o - )(% - ) - 2(y0 一 )(y - y0) = (K - )2 + (y y0)2接下来需要构造齐次式，因此将上面两式相乘，则等号两边就都变成了关于(%-%o (y-y0)的三次齐

6、次式，即得 - x0)2a2 - (y - y0)262( - )(% ) + Qo y0)l=2x0a2 (% - X0) + 2y02 Q - Vo) K% -)2 +。- Yo)2将上式右侧移项至左侧，同时除以(X-X0)3 得到关于k=y-y0x-x0的三次方程pA + qc2 +泳+ $ = 0 ,这里k的三个解便是kAB,kCB,kDB 。然后只需关注k的三次项系数和常数项，而P=刍,s = -3 ,由三次方程的韦达定 bzaz理S a b2 b2 1kABkcBkDB = ：P=、福=福后故原命题得证。【高次韦达定理】设一元n次方程anxn + an-1%n-1 HF a1x +

7、 0 = O的根为xlfx2f-fn则an-ln +久2 + / =W阳i=ln/ = Yxi = (T)TlMi=n3、齐次化斜率同构22【典例6】点尸为E:a+标=1 (bO)上的动点，以原点为心的OO 的半径等于1 .已知点尸到OO上动点的最小离为1 .(1)求椭圆E和。O的标准方程；(2)过尸点作。0的两条切线，与E的另一个交点分别为点AfB , E在点AfB处的切线交于点Q .求证：当直线PQ, PO的斜率均存在时，警为定值.Kpo22分析：(I) : + = 1, O 0:%* 2 + y2 = 1 164(2)设点P(x0,y0)，则kpA,kpB均满足同一个关于k的二次方程；设直线/B:n(% 沏)+ (y y0) = 1 ,用它来齐次化椭圆的方程，同样也可以 得到一个关于k的二次方程。上面得到的两个二次方程应该是同一个方程，对比 系数可以解得mfn ,然后利用一下极点极线的知识(先简单证明一下即可，即证 明若点Q(%l%),则直线/及簧+簧=I )便可以得到点Q的坐标。本题的 定值为:，详解略。