第7讲 平面向量“奔驰定理”.docx

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1、第7讲平面向量“奔驰定理”定理：如图，已知P为AABC内一点，贝4有S尸Bc萩+5mc丽+Szxb钻万1=0.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对 于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有 着决定性的基石作用.例 已知点A, B, C, P在同一平面内，P=B4, QRQB, 族=标，贝IJS： S比等于（）A. 14 ： 3 B. 19 ： 4 C. 24 ： 5 D. 29 ： 6答案B 解析由诙=W丽，得说一而=/丽一而）, 整理得刀=可丽+泊=W丽+酒,1 -1 -/I -1 - 由RP=qRC,得RP

2、=WPCPR), 整理得说=一赳，.-PC=PB+B4, 整理得4说+6西+9无=0, .Saabc : Spbc=(4+6+9) ： 4 = 19 : 4.(2)已知点 P,。在AABC 内，PA+2PB+3PC=2QA+3QB+5QC=Qf 则上0等于()IABIa c d答案A解析 根据奔驰定理得，SAPBC : 5b3-A-A-3 -A1 -尸 C=4 C=OC OP=W(OC-QA)= OP=4OA+4OC=0B-0C,c=Bcdc-d=(dc-B)0Q=nB+(l-n) 0C,因为P, 0,。三点共线，所以晶而，313所以一(10=一小解得扑=亍能力提升一 “奔驰定理”与三角形“四

3、心”：已知点。在AABC内部，有以下四个推论：(1)若0为AABC的重心，则况+m+历=0.(2)若 0 为 AABC 的外心，则 sin 2A0A+sm 2B 0B+sin 2C OC=0.(3)若 0 为 AABC 的内心，则 aA+OB+cOC=0.备注：若0为AABC的内心，则SinA公+sinB无+sin C历=0也对.(4)若。为 aABC 的垂心，则 tanAOA+tanBB+tan C-OC=O.。跟踪演练1 .点尸在aA5C内部，满足至+2踵+3无=0,贝USMg ： S.尸。为（）A. 2 ： 1 B. 3 ： 2 C. 3 ： 1 D. 5 ： 3答案C解析 根据奔驰定理

4、得，Sapbc : Sapac : 5,b4b-1 * 2 * 3.* SAABC : SAAPC =3 : 1.2 .点 O 为AABC 内一点，若 5aob : Saboc : Saoc=4 ： 3 ： 2, AOAB+AC,则实数丸 和的值分别为（）1 - 9 2-夕D2-91 - 9C2-94-夕B4 - 9 2-夕A.答案A解析根据奔驰定理，得3a+2为+4次=0,即 3OA+2(OA+AB)+4(OA+AC) = 0,49BAo故选A.3 .设点尸在4A5C内且为aA5C的外心，ZBAC=30o,如图.若双PBC, PCA, 4E45的面积分别为:，, y,则+y的最大值是答案坐 解析根据奔驰定理得，B4+xPB+yPC=0, AP=2xPB+2yPC,平方得靠2=42PB2+4y2PC2+8盯| PBPCcosZBPC,又因为点P是AABC的外心，所以I P = PB = PC,且NBPC=2NBAC=60。，所以（x+y）2=/+盯解得Ox+yW坐，3当且仅当x=y=与时取等号.3所以(x+y)max= 3 ,