概率与数列递推30题（马尔科夫链）.docx

《概率与数列递推30题（马尔科夫链）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率与数列递推30题（马尔科夫链）.docx（33页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、概率与数列递推30题（马尔科夫链）人教A版数学选择性必修三【P81如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔IS等可能地向左或向右移动一个 单位，共移动6次.求下列事件的概率._6 -5 -4 -3 -2 -10123456（1）质点回到原点；（2）质点位于4的位置.【解析】（1）质点回到原点，说明质点向左、向右各移动3次，其对应的概率6=Cg g=得；（2）质点位于4的位置,说明质点向左移动1次，向右移动5次,其对应的概率= C） g g=.P91甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传 给另外两个人中的任何一人.求次传球后球在甲手中的概

2、率.【解析】记第次传球后球在甲手中的概率为P ,则第-1次传球后球在甲手中的概率为Pn l9开始时球在甲手中，则与=L若第次传球后球在甲手中，则第-1次传球后球不在甲手中，即第次传球后球在乙或丙手中， 所以第-1次传球后球不在甲手中的概率为1-P.1,又乙或丙在第n次把球传到甲手上的概率为I, 于是有:（1一匕）=匕，于是数列R-4是首项为=公比为-；得等比数列，所以=,所以g=gx+g(wN*).1 .（单选）设一个正三棱柱ABC-。石F,每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面A3C的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在

3、上底面的概率为几，则几为（）【详解】由题意，设第次爬行后仍然在上底面的概率为乃.2若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为3Li52）;若上一步在下面，则第-1步不在上面的概率是1-匕1，（2）如果爬上来，其概率是 两种事件又是互斥的，匕=；匕+；（1_匕），即二；匕+；，匕一；二: .当 =10 时，6o=gg +故选：D.2 .甲乙二人轮流掷一枚质地均匀的骰子，由甲先掷.规定：若甲出1点，则由甲继续掷，否则下一次由 乙掷；若乙掷出3点，则由乙继续掷，否则下一次由甲掷.两人始终按此规则进行.记第次由甲掷的概 率为Pn,则A=， PtI=.【解析】“甲掷至Ill点”或乙掷至!

4、 3点”的概率为工，甲未掷到1点”或“乙未掷到3点”的概率为66设第次由甲掷的概率为4,则由乙掷的概率为1-月，第一次由甲掷，故第二次由甲的概率=,6155 2于是，第+1次由甲掷的概率为匕M=/匕+（1匕）=2W匕，666 3匕一；,是以g为首项，I为公比的等比数列52),=，2当 =1时4=1也满足上式，于是匕=B1( 2 Y2* 止 勺- n 13 9 Tl N . 72 3 时 f Pi 3 I 3)3 183.某种质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别标有数字O, 1, 2, 3,将这个玩具抛掷次，记第次 抛掷后玩具与桌面接触的面上所标的数字为% ,数列4的前和为S” .记臬是3的倍数

5、的概率为 p().(1)求尸(1), P(2);(2)求P().解：(1)抛掷一次，一共有4个结果，出现一个0和一个3时符合要求，故尸=3，抛掷两次，一共有42 =16个结果，出现1 + 2, 2 + 1, 0 + 0, 3 + 3, 0 + 3, 3 + 0时，符合要求，故计6种情况,故尸(2) = 4 = ：. Io 8(2)设S被3除时余1的概率为B，S“被3除时余2的概率为鸟，则尸5 + l) = g尸+65+1)=：尸5+1)=%()+；+共，-(+)，得：P( + 1)-( + 1) + ( +1) = g45) + (),化简，得4P5 + 1) =()+ 1,所以产(几 + 1

6、)_； = ； P(z)-1 ,又尸=j 所以卜-1是以为首项，；为公比的等比数列，得尸=+4. (2023 佛山二模)有个编号分别为1,2,3,的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒 子均为1个白球1个黑球，现从第1个盒中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第 3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是,从第个盒子中取到白球的概率 是.【答案】记事件4表示从第i( = L2,个盒子中取出白球，则P(A) = g, p(a) = , p(A) = p(AA)+(A) = ()(A)+()(AA) = = , P(A) = P(4)P(AIA) + p(%)44

7、3%) = ;尸(4)+；*,P(A) = P(A)P(A4A) + p(A)p(4A) = :尸(A)+；，p(4) = *(4t)+尸(4)-；山尸(4)，WAW， 33Z a L2 O卜(4)1是以为首项，;为公比的等比数列，a)-=3J1=3L5. (2023唐山调研)甲、乙、丙三人玩传球游戏，第1次由甲传出，每次传球时，传球者都等可能地将球 传给另外两人中的任何一人,设第k次传球后球在甲手中的概率为Pe左 N*,则下列结论正确的有()A. PI=OB. A=C P左+ 2PHI=ID. P2023 1【答案】Pl表示第1次传球后球在甲手中的概率，所以Pi=O, A选项正确.P2表示第

8、2次传球后球在甲手中的概率，则P2=；，B选项错误.PHl=P左义0 + (1 pjxg，即Pk+2Pz=l, C选项正确.11111 1 If-, P-2pk+2pk3)9所以数列,心-是首项为-g,公比为-；的等比数列，诉 I即111 ( 1Y11 1 (所以所以 P左 一, = _,x,Pk =- - ，1 12023 WX2022I 505k=l【解析】有四种情形： AfBfCf B, AfDfAf B, AfBf A-B, AfDfCf B,13,故选项A正确 272 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1=-X - X1X X1X X1 一 一333333333333对于B,当

9、为偶数时，从顶点A出发，只能到达A点或C点，此时4+=0, pn=qnf 当为奇数时，从顶点A出发，只能到达B点或D点，此时P“+为=1,即从顶点A出发经过2步到 达B、D两点为不可能事件，即必巩=%“=。，故选项B错误;对于选项c,当为偶数时，pr=a,当为奇数时，先计算从B点或D点出发经过两步到达B点的概* 八口3211 241 12 25率，分别为Pg-B= I ，Pdb - I一 = 一，BfB 3 3 3 3 9 DTB 3 3 3 3 9现计论从顶点A出发经过步到达B点的两种情形：4D从顶点A出发经过-2步到达B点，再经过两步到达B点的概率为gp“一2， 从顶点A出发经过-2步到达

10、D点，再经过两步到达B点的概率为j/_2， 4545 /所以 Pn-2 +7cln-2 Pn-2 +V P-l) 9 yyyyn-11 1(1 1711(、( Y1所以必一5=一6%-2-不，A- = - = ,易得PL Q +彳，故选项C正确;2 9V2)23266)92n-119nAk=lnH22022Q= 20IOll 31011 i1 505 ,故选项D正确.22027 .(多选)如图，有一只青蛙在正方形池塘的顶点ABCD之间跳跃，假设青蛙它跳向相邻顶点的概率为跳向不相邻顶点的概率为若青蛙一开始位于顶点A处，记青蛙跳跃次后仍位于顶点A上的概 42率为4,则下列结论中正确的是()A.青蛙

11、跳跃2次后位于B点的概率为L 48 .卜-m是等比数列C.青蛙跳动奇数次后只能位于点A的概率始终小于L 4D.存在整数 N*,使得青跳动n次后位于C点和D点的概率相等【答案】ABC 【解析】青蛙跳跃次后仍位于顶点A上的概率为Pn,则青蛙跳跃-1次后仍位于顶点A的概率为Pn_j不位于顶点A的概率为1-匕_,位于B、C、D的概率都为g(l-tj,第八次跳跃，为D跳跃至A的概率是(l-Pz,1),为B跳跃至A的概率是(l-1),为C跳跃至A的概率是(l-Pz,1),于是有，=(-1)2+(-j1.1)=(-1),即月 =1(WN*),凡=1,匕是以6为首项，g为公比的等比数列，匕，1,1 3 ( 1

12、Y当 =O时，代入验证成立，于是匕=十 义一，n0.4 4 I 3)设青蛙跳跃次后位于顶点C上的概率为Q,则青蛙跳跃-1次后位于顶点C的概率为Q_,不位于顶点C的概率为1 Qa，位于A、B、D的概率都为g(l QT),第次跳跃，为A跳跃至C的概率是g 0 一 Q ) X J， 11为B跳跃至C的概率是-(l-)-,为D跳跃至C的概率是g 0 - Qa ) X ；， 11111于是有，a=-(-a-1)-+-(-1)-2=-(-1),即2： = UQ.TJ，让2(n*), 1=,是以Qi!=为首项，1为公比的等比数列，2Xj ，I 4 4 434 4 ， 3)设青蛙跳跃次后位于顶点B上的概率为此

13、，则青蛙跳跃-1次后位于顶点C的概率为A”一，不位于顶 点C的概率为1 4，位于A、B、D的概率都为:(1 (_),第八次跳跃，1 1为A跳跃至B的概率是(1 K- ) X 1,2 1为C跳跃至B的概率是K.Jxg ,为D跳跃至B的概率是g (1 4 ) X ；，于是有，=(-1)(-)2=(-),即RW(RiT，2(N*), N=；,6二；,即青蛙跳跃次后位于顶点B上的概率为巴, 4于是青蛙跳跃次后位于顶点D上的概率为1-44综上，易得答案为ABC8. (2024 武汉9调)甲，乙，丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3,则甲将球传给乙，若点数不大于3,则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4,则乙将球传给甲，若点数不大于4,则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3,则丙将球传给甲，若点数不大于3,则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中，投掷(N*)次骰子后，记球在甲手中的概率为匕，则4=，