方法技巧篇8--二元一次方程组.docx

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1、方法技巧篇八第八章 二元一次方程组一、巧解方程组解二元一次方程组的根本方法是运用代人法或加减法进行消元，对于一些特殊的二元一次方程组, 可根据题目的结构特点，灵活求解.1 .整体代入消元例1解方程组:二U8w如25%x + 53%y = 85% X 3002 .间接加减法解方程组2x+y = 7,x+2y = 8.3 .常数消去法例3解方程喟I说明：当两个方程的常数项相同时,4.换元代入法我们可以先消去常数项，是代入消元.解方程组3x-2y + 2x + 3y _6+7二3x - 2y 2x + 3y UL5.参数代入法X y例5解方程组 = M3x + 4y = 186.作差法例6解方程组3

2、, =2 3x-4y = 18.二、教你一招二元一次方程组解的情况与其系数之间有必然的联系，我们用字母来表示未知数的系数和常数项, 列出一个二元一次方程组：aix + biy = ci a2x + b2y = c2 其中1、从不同时为零，a2,为也不同时为零）W a1b-a2b10,即当时方程组有唯一一组解；假设皿2-。2瓦=0,且。1。2-。2。1=0，即当* =g =卷时方程组有无数组解；假设。也-。2瓦=。，且SQ -。2。1 0,即当=4 fk时方程组无解.。2”2例7解方程组r+3二7 4x + y = 9解方程组2x + 3y = 66x + 9y = 18解方程组2x + 3y

3、= 7, 4x + 6y = 15, 三、整数解问题遇到求二元一次方程组的整数解问题时，许多同学找不到思路，这类问题实际上都有一定的规律, 只要抓住问题的“关键点”就会迎刃而解.例10求二元一次方程2x + y = 9在自然数范围内的解.例11求当m为何值时，方程组岩啜邪解是正整数，并求出这样的解.注：求二元一次方程组的整数解问题要注意：(1)要弄清楚范围，对自然数、正整数、负整数、整数等概念要明确；(2)不要只去试一试，一定要找到“头绪”，一般先从一个未知数人手，再去求另一个未知数；(3)对符合条件的解要全部求出，不要遗漏，这类问题的解一般不会太多，只能是少数的几个.四、“将错就错” 一点通

4、例12小明和小华同解一个方程组笠”,而两人结果却不相同，原来，小明将方程看错了，得到的解为卜=1小华将方程看错了，得到的解为卜二；,如果他俩都没有看错，那么方程组 的解是什么？例13甲、乙两人解同一个二元一次方程组.甲正确地得出解为乙因把第二个方程中的无的 -2系数抄错了，得到一个错误的解为F =他们解完后，原方程组中未知数的三个系数又被污染了，2变成了下面的形式：F请你将原方程组的三个被污染的系数求出来.x-7y = 8五、新题精析与二元一次方程组有关的图形信息题图形信息作为一种新型的试题，越来越受中考命题者的青睐, 新颖别致，请看下面几例.例14根据右图提供的信息，求出每支网球200元拍的

5、单价 元.160元例15在当地农业技术部门指导下， 加种植菠萝的投资，使今年的菠萝喜 收.下面是小明爸爸、妈妈的一段对 学过的知识帮助小明算出他们家今年 入.收入-投资=净赚龛李，傅我（4只净赚8 000元， 今年却净赚了 11 800元, 、增加投资值得！ ,阿菊,我算了一下,今车 我们家菠萝的收入比去 年增加了35%,不过投757哎,我们今年菠一）（萝收入多少钱资也增加了 10电小明家增 获 丰 话.请用 菠萝的收为 元，每支乒乓球拍的单价为呢？老李小明阿菊践活动小 “五一查后小明 景.根据 两个超市fr例16七年级班的一个综合实 组去A、B两个超市调查去年和今年 节”期间的销售情况，下列

6、图是调 与其他两位同学进行交流的情 他们的对话，请你分别求出A、B 今年“五一”期间的销售额.六、“帮你决策”近年来各地的中考题中经常出现建立方程组模型的决策性问题，这类问题让同学们真正体会到了数 学的应用价值，表达了 “学有所用，学以致用”的精神，刚开始遇见这些问题，同学们普遍会感到无从 下手，其实，解决这类问题并不太难，关键是找到解决这类问题的方法.现就这类问题的常见解答方法 举例分析如下，供同学们参考. 电脑公司电脑单价1单位：元）A型：6000B型:4000C型：2500D型：5000E型:2000例17某电脑公司现有A、B、C三种型号的甲品牌电脑和D、E两种型号的乙品牌电脑.希 望中

7、学要从甲、乙两种品牌的电脑中各选购一种型号.现知希望中学购置甲、乙两种品 牌电脑共36台价格如右图所示，恰好用了 10万元人民币，其中甲品牌电脑为A型号 电脑，求购置的A型号电脑有几台？例18某体育彩票经销商方案用45000元从省体彩中心购进彩票20扎，每扎IoOO张，体彩中心有A、B、C三种价格的彩票，进价分别是A彩票每张1.5元，B彩票每张2元，C彩票每张2. 5元.(1)经销商同时购进两种不同型号的彩票20扎，用去45000元，请你设计进票方案；(2)销售A种彩票一张获手续费0. 2元，B种彩票一张获手续费0. 3元，C种彩票一张获手续费0. 5 元，在购进两种彩票的方案中，为使销售完时

8、获得手续费最多，你选择哪种进票方案？七、“配套问题”在实际问题中，经常遇到一些配套组合问题，解决这类问题的方法是抓住配套关系，设出未知数， 根据配套关系列出方程组，通过解方程组解决问题.1 .配套与人员分配问题例19某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要 配两个螺母，为了使每天生产的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？例20某工地需要派48人去挖土和运土，如果每人每天平均挖土 5方或运土 3方，那么应该怎样安排 人员，正好能使挖的土及时运走？2 .配套与物质分配问题例21用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制

9、盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒.现有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以使盒身与盒底正好配套？例22 一张方桌由1个桌面和4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300 条，现有5立方米木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配成多少张方桌?八、“图解”行程问题正确地分析题目中的数量关系是列方程组解应用题的关键，在分析数量关系时，同学们可以列式， 也可以列表，还可以画图,其中图形最直观、形象，对同学们解应用题有很大帮助，下面以一道行程类 问题为例，来具体说明图形在解应用题中的应用.例23客车和货车分

10、别在两条平行的铁轨上行驶，客车长150米，货车长250米，如果两车相向而行， 那么从两车车头相遇到车尾离开共需10秒钟；如果客车从后面追货车，那么从客车车头追上货车车尾 到客车车尾离开货车车头共需1分40秒，求两车的速度.说明：倘假设同学们在求解上题时以笔代车，进行情景模拟，将会加深对题目的理解.九、方程与不等式“共舞”近年来，中考中常会出现一类通过列方程与不等式来解决的问题，需要同学们分清题中的相等和不 等关系，从而考查同学们挖掘信息、分析问题和综合建模的能力.下面举例说明.例24为了加强学生的交通平安意识，某中学和交警大队联合举行了 “我当一日小交警”活动，星期天 选派局部学生到交通路口值

11、勤，协助交通警察维护交通秩序.假设每一个路口安排4人，那么还剩下78 人；假设每个路口安排8人，那么最后一个路口缺乏8人，但不少于4人.求这个中学共选派值勤学生 多少人？共有多少个交通路口安排值勤？例25某“希望学校”为加强信息技术课教学，拟投资建一个初级计算机房和一个高级计算机房，每个 机房只配置1台教师用机，假设干台学生用机.现有厂方提供的产品推荐单一份，如下表：类别初级机房高级机房机型CZXM-012型CZXM-025型CZXN-316型CZXN-216型生产日期2005年1月2005年3月单价CZXM-012型 10 OOO元CZXM-025型 14 375元CZXN-316型 4 3

12、75元CZXN-216型 8 750元性能多人交互：教师配置CZXM系列机型，学生配置CZXN系列机型.所有机型均按八折优惠销售，两个机房购置 计算机的钱数相等，并且每个机房购置计算机的钱数不少于20万元也不超过21万元.请计算，拟建的 两个机房各能配置多少台学生用机？例26某水果批发市场香蕉的价格如下表.购置香蕉数不超过20千克20千克以上但不超过40千克40千克 以上每千克价格6元5元4元张强两次共购置香蕉50千克第二次多于第一次），共付款264元，请问张强第一次、第二次分别 购置香蕉多少千克？十、数形结合思想的应用例27甲、乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时出发，相向而行，经过3小

13、时后相距3千米没 有相遇，再经过2小时，甲到B地所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍.求甲、乙两人的速度只 列出方程组，不需要求解）.例28 一个长方形，它的长减少4 cm,宽增加2 cm,所得的是一个正方形，它的面积与原长方形的面 积相等，求原长方形的长和宽.2 甲X 44十一、整体思想在解方程组中的应用我们知道，解二元一次方程组一般是通过消元，使其转化成一元一次方程后求解，常用的消元法有 代入法和加减法两种，但是有些方程组，直接运用这两种方法可能不太简便，下面选取的一类方程组， 采用整体思想来解，会给你解题带来很大的方便.例29解方程组213日例30解方程组?=2y2(x + l)-y =

14、ll例31解方程组愕例32方程组化:储5,求一的值.十二、方程思想的应用所谓方程思想是指在求解数学问题时，从题中的量和未知量之间的数量关系入手，找出相等关系, 运用数学符号语言将相等关系转化为方程组，再通过解方程组使问题获得解决.方程思想是中学数学非常重要的思想方法之一，它的应用十分广泛.例33右图是一个有三条边的算法图，每个口里有一个数，这个数 在边的两个。里的数之和，请说出三个。里应填入的数.等于它所十三、转化思想的应用消元消元是解方程组的根本方法，消元的目的是把多元的方程组逐步转化为一元方程，如=ZZ_Zrl 消元匚=一7-1 消元 I一二一 三兀一次转化二兀一次转化一兀一方程组方程组次方程例34解方程组fl995x + 1997y = 59891997x + 1995y = 5987